NC17621 管道取珠(模型轉換+DP)

題目鏈接

題意：
$有兩個管道，管道1有n個球，管道2有m個球$
$球有A和B兩種顏色$
$從A或B分別取球，可能有C(n+m,n)種方案$
$這些方案中可能有取出球序列相同的$
$假設總共有k種不同的球序列，a_i爲每種的方案數$
$那麼\sum_{i=1}^k a_i=C(n+m,n)$
$求\sum_{i=1}^k a_i^2~mod ~1024523$
題解：
$n,m<=500$
$求\sum_{i=1}^k a_i可以直接得出$
$但是要求求的結果是\sum_{i=1}^k a_i^2$
$如果這道題(n+m)比較小，可以考慮二進制枚舉$
$對於每種進行平方求和，但是這裏n，m太大，肯定不夠用$
$所以我們就可以把問題轉化$
$一般對於k次方，你就可以把他轉化成k個人玩這個遊戲$
$就比如這道題，是兩次方，所以轉化成2個人玩這個遊戲$
$然後求這兩個人序列相同的方案數$
$第一個拿到這個序列的方案數是a_i,第二個人是b_i$
$那麼兩個人同時拿到這個序列的方案數就是a_i*b_i$
$對於這道題中，遊戲相同，初始相同，所以a_i==b_i$

$所以現在需要考慮的就是2個人玩這個遊戲序列相同的方案數$
$這樣就很明顯了，應該是用dp來求$
$然後開始構建dp的模型$
$狀態應該就是兩個人各自從兩個管道拿的球序列相同的方案$
$dp[i][j][k][l]表示第一個人從管道1拿i個，管道2拿j個$
$第二個人從管道1拿k個，管道2拿l個兩人序列相同的方案$
$但是四維DP不論時間空間都不允許$
$考慮一下降維，我們會發現，兩個人序列相同，拿的個數肯定一樣$
$所以i+j==k+l，那麼就可以去掉l這一維$

$然後考慮狀態轉移，由於是拿的個數$
$我們考慮的應該是往下一個狀態轉移$
$如果第一個人管道1（管道2）的當前球和第二個人管道2的當前球一樣$
$那麼就可以讓這兩個人分別拿相同球，並得到當前狀態的貢獻$
$這樣就可以形成狀態轉移（詳細見下代碼）$

$然後可以看到，這個遞推永遠是往下一個狀態轉移$
$也就是球數增長的方向，不需要前一步的值$
$這樣的話，對於最外層循環那一維，就可以使用滾動數組$

$最後得到dp[n][m][n]即可$

AC代碼

/*
    Author:zzugzx
    Lang:C++
    Blog:blog.csdn.net/qq_43756519
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define endl '\n'
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
const int mod=1024523;
//const int mod=998244353;
const double eps = 1e-10;
const double pi=acos(-1.0);
const int maxn=1e6+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f;
const int dir[4][2]={{0,1},{1,0},{0,-1},{-1,0}};

int n,m;
int dp[2][510][510];
string a,b;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    cin>>n>>m;
    cin>>a>>b;a='.'+a,b='.'+b;
    dp[0][0][0]=1;
    int cur=0;
    for(int i=0;i<=n;i++,cur^=1)
        for(int j=0;j<=m;j++)
            for(int k=0;k<=n;k++){
                int l=i+j-k;
                int &x=dp[cur][j][k];
                if(l<0||l>m)continue;
                if(a[i+1]==a[k+1])dp[cur^1][j][k+1]=(dp[cur^1][j][k+1]+x)%mod;
                if(a[i+1]==b[l+1])dp[cur^1][j][k]=(dp[cur^1][j][k]+x)%mod;
                if(b[j+1]==a[k+1])dp[cur][j+1][k+1]=(dp[cur][j+1][k+1]+x)%mod;
                if(b[j+1]==b[l+1])dp[cur][j+1][k]=(dp[cur][j+1][k]+x)%mod;
                x=0;
            }
    cout<<dp[cur][m][n];
    return 0;
}