6.1 堆
堆是一个数组，也可以被看作近似的完全二叉树。树上的每一个结点都对应数组中的一个元素。除了最底层，该树是完全充满的。
可以用某一数组代表堆，其中包含两个属性：
A.length 代表给出的数组元素的数目
A.heap-size 代表又多少个堆元素存储在该数组中
（树性质：
前提：近似完全二叉树，从左到右排序，i为某结点编号
其父结点为：i/2
左孩子：2i
右孩子：2i+1
）
高度：该结点到叶结点最长简单路径上边的数目
（n个元的的堆，高度为[lg2]（向下取整））
叶结点下标：n表示数组存储的n个元素时，叶节点下标分别为[n/2]+1,[n/2]+2,[n/2]+3.....
最大堆：某个结点的值最大与其父结点相同。 //A[PARENT（i）] >=A[i]
最小堆：某个结点的值最小与其父结点相同。 //A[PARENT（i）] <=A[i]
6.2 维护堆的性质
MAX-HEAPIFY过程：时间复杂度为O（lg n） 维护堆的关键。
伪代码
MAX-HEAPIFY(A,i)
l=LEFT(i)
r=RIGHT(i)
if l<=A.heap-size and A[l]>A[i]
largest = l
else
if r<=A.heap-size and A[r]>A[i]
largest = r
if largest != i
exchange A[i] with A[largest]
MAX-HEAPIFY(A,largest)
C实现:
int RIGHT(int i) {
return 2 * i + 1;
}
int LEFT(int i){
return 2* i;
}
void MAX_HEAPIFY(int A[], int i)
{
int A_heap_size = 10;
int l = LEFT(i);
int r = RIGHT(i);
int largest = i;
if (l<=A_heap_size && A[l]>A[i]) {
largest = l;
}
if (r<=A_heap_size && A[r]>A[largest] ){
largest = r;
}
if (largest != i) {
int temp=A[i];
A[i] = A[largest];
A[largest] = temp;
MAX_HEAPIFY(A,largest);
}
}
BUILD-MAX-HEAP过程：线性时间复杂度，功能时从无序的输入数据数组中构造一个最大堆。
伪代码：
BUILD-MAX-HEAP(A)
A.heap-size = A.length
for i = [A.length/2] downto 1
MAX-HEAPIFY(A,i)dd
C实现：
void BUILD_MAX_HEAP(int A[],int length) {
int A_heap_size = length;
int i = length;
for (i; i > 0; i--) {
MAX_HEAPIFY(A, i, A_heap_size);
}
}
HEAPSORT过程：时间复杂度为O(lg n),功能时堆一个数组进行原址排序。
伪代码：
HEAPSORT（A）
BUILD-MAX-HEAP（A）
for i=A.length downto 2
exchangeA[1] with A[i]
A_heap-size--
MAX-HEAPIFY(A,1)
C语言实现：void HEAPSORT(int A[],int length) {
int A_heap_size = length;
int i = length;
BUILD_MAX_HEAP(A, A_heap_size);
for (; i > 1; i--){
int temp = A[1];
A[1] = A[i];
A[i] = temp;
A_heap_size--;
MAX_HEAPIFY(A, 1, A_heap_size);
}
}
MAX-HEAP-INSERT,HEAP-EXTRACT-MAX,HEAP-INCREASE-KEY,HEAP-MAXIMUM过程：
时间复杂度O（lg n），功能时利用堆实现一个优先队列。