AtCoder Beginner Contest 172 D Sum of Divisors 與約數個數有關的公式推導

AtCoder Beginner Contest  172   比賽人數10142  比賽開始後6分鐘看到A題,之後,比賽開始後8分鐘看到所有題

AtCoder Beginner Contest   172   D   Sum of Divisors    與約數個數有關的公式推導

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在線測評地址https://atcoder.jp/contests/abc172/tasks/abc172_d

題目大意：給定數據n,找到1的約數個數f(1),找到2的約數個數f(2),找到3的約數個數f(3),......,找到n的約數個數f(n),計算1*f(1)+2*f(2)+3*f(3)+......+n*f(n)的值.

樣例模擬如下：

4

23

f(1)=1的約數個數=(約數1(共計1個))
f(2)=2的約數個數=(約數1,約數2(共計2個))
f(3)=3的約數個數=(約數1,約數2,約數3(共計3個))
f(4)=4的約數個數=(約數1,約數2,約數4(共計4個))

1*f(1)+2*f(2)+3*f(3)+4*f(4)
=(1+2+3+4)*約數1的個數1+(2+4)*約數2的個數1+3*約數3的個數1+4*約數4的個數1
=10*1+6*1+3*1+4*1
=23

(1+2+3+4)*約數1的個數1
(1+2+3+4)是等差數列，開始位置數值是1,結束位置數值是4/1=4

(2+4)*約數2的個數1
(2+4)是等差數列，開始位置數值是2,結束位置數值是2+(4/2-1)*2=4

3*約數3的個數1
3是等差數列，開始位置數值是3,結束位置數值是3+(4/3-1)*3=3

4是等差數列，開始位置數值是4,結束位置數值是4+(4/4-1)*4=4

AC代碼如下：

#include <stdio.h>
#define LL long long
LL ans;
int main(){
	int n,i,m,a,b;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		m=n/i;//等差數列元素個數
		a=i,b=a+(m-1)*i;//a等差數列起始元素，b等差數列末了元素
		ans+=(LL)(a+b)*m/2;//等差數列求和
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}

 

以下爲比賽時提交的代碼，留存此處。

#include <stdio.h>
#define LL long long
LL ans,b;
int n,prime[2000],not_prime[10010],tot;
void linear_shaker(int x){
	int i,j;
	for(i=2;i<=x;i++){
		if(!not_prime[i])prime[++tot]=i;
		for(j=1;prime[j]*i<=x;j++){
			not_prime[prime[j]*i]=1;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}
int main(){
	int i,n,cnt,x,j;
	linear_shaker(10000);
	ans=0;
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		x=i,b=1;
		for(j=1;prime[j]*prime[j]<=x;j++){
			cnt=0;
			if(x%prime[j]==0){
				while(x%prime[j]==0)x/=prime[j],cnt++;
				b*=(cnt+1);
			}
		}
		if(x>1)b*=2;
		ans+=b*i;
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}