【題解】機器分配（DP）

題面

【題目描述】
總公司擁有高設備$M$臺，準備分給下屬的$N$個分公司。各分公司獲得這些設備，可以爲國家提供一定的盈利。問：如何分配這$M$臺設備才能使國家得到的盈利最大？求出最大盈利值。其中$M\leq 15,N\leq 10$。分配原則：每個公司有權獲得任意數目的設備，但總檯數不超過設備數$M$。
【輸入】
第$1$行有兩個數，第$1$個數是分公司數$N$，第$2$個數是總設備臺數$M$。接下來是$N*M$的矩陣，表明了第$I$個公司分配$J$臺機器的盈利。
【輸出】
第$1$行輸出最大盈利值，接下來$N$行，每行$2$個數，即分公司編號和該公司獲得設備臺數。
【樣例輸入】

3 3
30 40 50
20 30 50
20 25 30

【樣例輸出】

70
1 1
2 1
3 1

算法分析

$DP$。
狀態：
$dp[i][j]$——前$i$個公司分$j$臺設備的最大盈利。

狀態轉移方程：
如果前$i-1$個公司已經分配完了，考慮第$i$個公司分配的機器數量，設分得$k$臺，$k$可能爲$0$~$j$，那麼前$i-1$個公司只能分配$j-k$臺。
設$a[x][y]$表示第$x$個公司分配$y$臺設備的盈利。
因此，只需要考慮第$i$個公司分配了多少臺機器：

$dp[i][j]=max${ $dp[i][j],dp[i-1][j-k] +a[i][k]$ }，$0\leq k \leq j。$

邊界：
$dp[i][0]=0$，$i$個公司分配$0$臺設備盈利爲$0$.
$dp[0][j]=0$，$0$個公司分配$j$臺設備盈利爲$0$。

輸出方案
最後的答案爲$dp[n][m]$，即$n$個公司分$m$臺設備的最優解。
通過狀態轉移方程可以知道，$dp[n][m]$是由$dp[n-1][j-k_n]+a[n][k_n]$得到的，即前$n-1$個公司分$m-k_n$臺設備，第$n$個公司分配$k_n$臺設備。數組$a$是已知的，$dp$數組也是已知的，而$k_n$是未知的，因此，可以枚舉$k_n$，檢驗$k_n$在何時滿足$dp[n][m]$，則找到了第$n$個公司分配到的設備數。
同理，繼續找$dp[n-2][m-k_n-k_{n-1}]+a[n-1][k_{n-1}]$，檢驗第$n-1$個公司分配的設備數…
採用遞歸來實現。

參考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m;
int a[200][200],dp[200][200],num[200],mx,s[200],ans=0;
void print(int i,int j)	//遞歸尋找答案，前i個公司分j臺 
{
	if(ans) return;		//找到答案不再找了 
    if(i==0) 
    {
    	int tmp=0;
    	for(int k=1;k<=n;k++)
    		tmp+=s[k];
    	if(tmp==m)			//m臺設備全部分完 
    	{
    		for(int k=1;k<=n;k++)
    			cout<<k<<' '<<s[k]<<endl;	
			ans=1; 
		}
		return;
	}
    for(int k=0;k<=j;k++)	//前i-1個公司分j-k臺，第i個公司分k臺
    {
        if(dp[i][j]==dp[i-1][j-k]+a[i][k])
        {
			s[i]=k;				//記錄 
            print(i-1,j-k);
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++)
            cin>>a[i][j];
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
         
        for(int j=1;j<=m;j++)
        {
            mx=0;
            for(int k=0;k<=j;k++)	//考慮第i個公司分配了k臺設備 
            {
                if(dp[i-1][j-k]+a[i][k]>mx)			//取最優解 
                    mx=(dp[i-1][j-k]+a[i][k]);
            }
            dp[i][j]=mx;	
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    print(n,m);
    return 0;
}