【題解】「USACO2008MAR」River Crossing（DP）

題面

【題目描述】
$Farmer$ $John$以及他的$N(1 <= N <= 2,500)$頭奶牛打算過一條河，但他們所有的渡河工具，僅僅是一個木筏。
由於奶牛不會划船，在整個渡河過程中，$FJ$必須始終在木筏上。在這個基礎上，木筏上的奶牛數目每增加$1$，$FJ$把木筏劃到對岸就得花更多的時間。 當$FJ$一個人坐在木筏上，他把木筏劃到對岸需要$M(1 <= M <= 1000)$分鐘。當木筏搭載的奶牛數目從$i-1$增加到$i$時，$FJ$得多花$M_i(1 <= M_i <= 1000)$分鐘才能把木筏劃過河（也就是說，船上有$1$頭奶牛時，$FJ$得花$M+M_1$分鐘渡河；船上有$2$頭奶牛時，時間就變成$M+M_1+M_2$分鐘。後面的依此類推）。那麼，$FJ$最少要花多少時間，才能把所有奶牛帶到對岸呢？當然，這個時間得包括$FJ$一個人把木筏從對岸劃回來接下一批的奶牛的時間。
【輸入】
第一行兩個整數數$N,M$，表示$N$頭奶牛和$FJ$獨自劃到對岸的時間；
接下來$N$個數，爲$M_i$
【輸出】
一個整數，最少時間。
【樣例輸入】

5 10 
3 
4 
6 
100 
1

【樣例輸出】

50

【樣例解釋】
$FJ$第一次帶$3$頭牛過河，一共花費$10+3+4+6=23$分鐘，然後一個人劃回來，花費$10$分鐘，最後帶剩下的$2$頭牛過河，花費$10+3+4=17$分鐘，總共$23+10+17=50$分鐘。

算法分析

對於$DP$，最簡單的狀態就是問題怎麼問，怎麼設。
狀態：
$f[i]$——運輸$i$頭牛過河花費的最少時間。

狀態轉移方程：
總共運輸$i$頭牛，考慮當前這一次運輸了幾頭牛，設當前這一次運輸$j$頭牛。數組$sum$存放$M_i$.
$f[i]=min${ $f[i-j]+sum[j]+2*m$ }，$1<=i<=n,1<=j<=i。$

最後的答案就是$f[n]-m$（$FJ$運輸最後一次不會返回）。
時間複雜度：$O(n^2)$

參考程序

#include<iostream>
#include<cstring> 
#include<cstdio> 
#define N 3000 
using namespace std;
int f[N],sum[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int a;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a;
        sum[i]=sum[i-1]+a;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int minn=N*10000;
        for(int j=1;j<=i;j++)	//當前這一次運輸j頭牛
            minn=min(minn,f[i-j]+sum[j]+2*m);
        f[i]=minn;
    }
    cout<<f[n]-m<<endl;     //送完了就不用會來了 
    return 0;
}