最小回文分解NlogN算法

本文翻譯自這篇論文
譯者水平有限，如有錯漏，還望指出
論文中有僞代碼可以幫助理解
衆所周知，字符串的border有和等差數列相關的一些性質（border group），可以參考2015年集訓隊論文集裏的《淺談字符串匹配的幾種方法》一文，迴文串的迴文border也有類似的性質。

tips：
真後綴定義類似真子集

下面給出算法所用到的幾個引理
引理1
令y爲迴文串x的後綴，y是x的border當且僅當y是迴文串
證明顯然
引理2
令y爲x的後綴且|x|≤|2y|$|x|\le |2y|$ ，x是迴文串當且僅當y是迴文串
證明顯然
引理3
令y爲x的真後綴，|x|−|y|$|x|-|y|$ 是x的循環節當且僅當y是迴文串
顯然
引理4

令y爲迴文串x的最長迴文真後綴，z爲y的最長迴文真後綴，不妨令x=uy,y=vz$x=uy,y=vz$ ，那麼有

(1)|u|≥|v|$(1)|u|\ge |v|$

(2)if|u|>|v|,|u|>|z|$(2)if|u|>|v|,|u|>|z|$

(3)if|u|=|v|,u=v$(3)if|u|=|v|,u=v$

由前三個引理可證

有了上述4個引理，我們可以類似border group搞事情

對於一個前綴S1,j$S_{1,j}$ ，定義Pj$P_j$ 爲下標集合{p1,p2...pm},p1<p2<...<pm$\{p_1,p_2...p_m\},p_1<p_2<...<p_m$ 表示S1,j$S_{1,j}$ 的所有迴文後綴的開頭，定義差值爲pi+1−pi$p_{i+1}-p_i$ ，那麼有

引理5

Pj$P_j$ 的差值單調不增，且最多有O(logj)$O(\log j)$ 種取值

由引理4顯然

對每個不同的差值Δ$\mathrm{\Delta }$ ，定義Pj,Δ={pi:1<i≤m,pi−pi−1=Δ}$P_{j,\mathrm{\Delta }}=\{p_i:1<i\le m,p_i-p_{i-1}=\mathrm{\Delta }\}$ ， 特殊的， Pj,∞={p1}$P_{j,\mathrm{\infty }}=\{p_1\}$ ，每一個Pj,Δ$P_{j,\mathrm{\Delta }}$ 可以表示爲三元組(minPj,Δ,Δ,|Pj,Δ)$(min{P}_{j,\mathrm{\Delta }},\mathrm{\Delta },|P_{j,\mathrm{\Delta }})$ ，將三元組按Δ$\mathrm{\Delta }$ 降序記在鏈表Gj$G_j$ 中

那麼由引理5，Gj$G_j$ 的大小是O(logj)$O(\log j)$ 的，接下來證明Gj$G_j$ 能用O(|Gj−1|)$O(|G_{j-1}|)$ 時間從Gj−1$G_{j-1}$ 推過來。衆所周知，每個i∈Pj−1$i\in P_{j-1}$ 要麼被i−1∈Pj$i-1\in P_j$ 替代要麼被刪除，那麼有

引理6

令pi$p_i$ 和pi+1$p_{i+1}$ 爲Pj−1,Δ$P_{j-1,\mathrm{\Delta }}$ 中的相鄰元素，pi−1∈Pj$p_i-1\in P_j$ 當且僅當pi+1−1∈Pj$p_{i+1}-1\in P_j$

易證

有了引理6，可以想象，三元組(i,Δ,k)∈Gj−1$(i,\mathrm{\Delta },k)\in G_{j-1}$ 或被刪除或被替換爲(i−1,Δ,k)$(i-1,\mathrm{\Delta },k)$ ，也即

G′j={(i−1,Δ,k):(i,Δ,k)∈Gj−1,i>1,and Si−1=Sj}$$G_j^{\prime }=\{(i-1,\mathrm{\Delta },k):(i,\mathrm{\Delta },k)\in G_{j-1},i>1,\text{and }{S}_{i-1}=S_j\}$$

但是，我們的新三元組似乎有些不合定義，需要做一些調整：若pi∈Pj−1,Δ$p_i\in P_{j-1,\mathrm{\Delta }}$ 被pi−1$p_i-1$ 替換，而pi−1=pi−Δ∈Pj−1$p_{i-1}=p_i-\mathrm{\Delta }\in P_{j-1}$ 被刪除，那麼pi−1$p_i-1$ 就不應該在Pj,Δ$P_{j,\mathrm{\Delta }}$ 裏。注意到只有每組第一個元素可能需要調整，故我們分裂出每組第一個元素，即

replace (pi−1,Δ,k) with (pi−1,Δ′,1) and (if k>1) (pi−1+Δ,Δ,k−1)$$\text{replace }(p_i-1,\mathrm{\Delta },k)\text{ with }(p_i-1,{\mathrm{\Delta }}^{\prime },1)\text{ and (if }k>1\text{) }(p_i-1+\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta },k-1)$$

其中Δ′${\mathrm{\Delta }}^{\prime }$ 爲pi−1$p_i-1$ 在Pj$P_j$ 中新的差值

令G′′j$G_j^{″}$ 爲G′j$G_j^{\prime }$ 經過上述變換的結果，可以看出差值的維護已經基本無誤了，接下來只需要合併差值相等的三元組，就可以通過G′′j$G_j^{″}$ 得到正確的Gj$G_j$ 了

引理7

Gj$G_j$ 可由Gj−1$G_{j-1}$ 用O(|Gj−1|)=O(|logj|)$O(|G_{j-1}|)=O(|\log j|)$ 時間計算出

上述7個引理足夠維護Gj$G_j$ ，接下來解釋如何通過Pj,Δ$P_{j,\mathrm{\Delta }}$ 和Pj−Δ,Δ$P_{j-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }}$ 的聯繫快速轉移DP值

引理8

若有(i,Δ,k)∈Gj,k≥2$(i,\mathrm{\Delta },k)\in G_j,k\ge 2$ ，則有(i,Δ,k−1)∈Gj−Δ$(i,\mathrm{\Delta },k-1)\in G_{j-\mathrm{\Delta }}$

畫圖可證

由引理8，若|Pj,Δ≥2|$|P_{j,\mathrm{\Delta }}\ge 2|$ 則Pj,Δ=Pj−Δ,Δ∪{maxPj,Δ}$P_{j,\mathrm{\Delta }}=P_{j-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }}\cup \{max{P}_{j,\mathrm{\Delta }}\}$ ，憑此即可在常數時間利用PLj−Δ,Δ$P{L}_{j-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }}$ 計算PLj,Δ=min{PLi−1+1:i∈Pj,Δ}$P{L}_{j,\mathrm{\Delta }}=min\{P{L}_{i-1}+1:i\in P_{j,\mathrm{\Delta }}\}$ 。PLi$P{L}_i$ 表示第i$i$ 個前綴的最小回文分解大小。我們把PLj,Δ$P{L}_{j,\mathrm{\Delta }}$ 存在GPLm,m=minPj,Δ−Δ$GP{L}_m,m=min{P}_{j,\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }$ 中，顯然當|Pj,Δ|≥2$|P_{j,\mathrm{\Delta }}|\ge 2$ 的時候PLj,Δ$P{L}_{j,\mathrm{\Delta }}$ 和PLj−Δ,Δ$P{L}_{j-\mathrm{\Delta },\mathrm{\Delta }}$ 對應下標相同，接下來證明一個引理，來說明在j−Δ$j-\mathrm{\Delta }$ 到j$j$ 中不會有其他時刻訪問此位置

引理9

令m=minPj,Δ−Δ$m=min{P}_{j,\mathrm{\Delta }}-\mathrm{\Delta }$ ，∀l∈[j−Δ+1,j−1],m∉Pl$\mathrm{\forall }l\in [j-\mathrm{\Delta }+1,j-1],m\notin P_l$

易證

綜上，我們有

定理10

最小回文分解可以用O(nlogn)$O(n\log n)$ 時間O(n)$O(n)$ 空間計算

沒懂可以看論文裏的僞代碼

後面的東西暫時不感興趣，不翻了

例題：

Codeforces Round #454 div1 E Reverses