bzoj 2818 Gcd 歐拉函數求和

Description

給定整數N，求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)爲素數的
數對(x,y)有多少對.

Input

一個整數N

Output

如題

Sample Input

4

Sample Output

4
HINT

hint

對於樣例(2,2),(2,4),(3,3),(4,2)

1<=N<=10^7

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woc666還有這種坑。。。
（啥坑待會兒講啦）


看看這道題，看到gcd就有種莫比烏斯繁衍(劃掉)的恐慌感。。
然而堅定的我還是想了想。。
首先n有10^7，假設枚舉了x,y中的任意一個基本就得O(1)了。。
所以我就沒考慮枚舉x或者y。
令z=gcd(x,y)，則z爲質數。
考慮枚舉這個z，因爲10^7中質數的數量只有不到50W個，所以很有前途= =
那麼由於gcd(x,y)=z，我們要統計這種(x,y)的對數，
那麼令：

x=z∗Ay=z∗B

根據要求，gcd(A,B)=1，也就是說假設我們枚舉了A，
那麼B的個數就是和A互質的數字的個數了。
爲了方便，我們假設B<=A，只要最後計算一下就好了。
於是，當我們枚舉了這個z，B的範圍自然是1<=B<=n/z 了，
那麼z的貢獻就是

∑ϕ(i)，1<=i<=n/z

也就是說，這是一個歐拉函數求和。
那麼只要線性篩一下歐拉函數，然後弄個前綴和，
每次就可以直接統計貢獻了。時間複雜度O(N+P)，P是n內質數個數。
那麼這個求出來之後，再*2，沒有了遺漏，但有沒有重複呢？
顯然是有的，比如gcd(3,3)=3是個質數，但是3=3，所以乘2的話就會被計算2遍，
但也很容易看出被計算2遍的一定是gcd(x,x)=x，x是個質數，
所以最後答案再減去P即可。


來吐槽一個坑。。。。
對於ans，求出的是ans*2-P……
然而……ans*2要爆long long的！QAQ
我一開始80，非常噁心。。
於是就只好寫成(ans-P)*2+P的形式了……因爲最後沒有爆long long。。
靠又沒有1A啊啊抓狂。。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
int n,pcnt;
ll phi[10000001],prime[500000];
bool notprime[10000000];
void get_eula_prime(){
    notprime[1]=1,pcnt=0;
    phi[1]=1LL;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if (!notprime[i]) phi[i]=(ll)i-1,prime[++pcnt]=(ll)i;
        for (int j=1;j<=pcnt;j++){
            if (i*prime[j]>n) break;
            notprime[i*prime[j]]=1;
            if (i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]+=phi[i-1];
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    get_eula_prime();
    ll ans=0LL;
    for (int i=1;i<=pcnt;i++) ans+=phi[n/prime[i]];
    ans-=(ll)pcnt;
    ans<<=1LL;
    ans+=(ll)pcnt;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}