假設檢驗之t檢驗詳解

假設檢驗之t檢驗詳解

---

參考：https://blog.csdn.net/Tonywu2018/article/details/83897806

0. 背景故事

t檢驗又叫學生t檢驗（Student‘s t test），它是由20世紀愛爾蘭的一家啤酒廠-健力士酒廠的一名員工（戈斯特）採用筆名“Student”發表的學術文章而得名。

1. 從一個例子引入t檢驗的思路

健力士公司是釀啤酒的，啤酒的原材料是麥子，因此公司種了很多麥田。假設有兩片麥田，一塊採用A工藝（舊）種植，另一塊採用B工藝（新）種植。A工藝的麥田平均每株麥子可以結100粒穗子。公司想知道B工藝是否相比A工藝提高了產量。爲了節約成本、小小損耗，摳門的資本家老闆從B工藝的麥田裏隨機摘了5株大麥，每株麥子的平均穗子數量爲120粒，看起來似乎產量提高了，因爲每株麥子的麥穗粒數均值增加了20%。如何確定這樣的結論是否可信呢？

原假設：B工藝沒有提高產量，即AB工藝下的每株麥子麥穗數量服從同一個分佈
備選假設：B工藝提高了產量

由中心極限定理，A工藝每株麥穗的粒數服從均值爲100，方差未知的正態分佈：

$X\sim N(\mu,\sigma^2)\tag{1-1}$
B工藝的單株麥穗粒數也可以認爲服從正態分佈。如果原假設正確的話，B和A服從同樣的正態分佈。那麼這時候我們可以去評估出現5株均值爲120的麥穗的概率是否很極端，來判斷原假設是否合理。可以對B的每株麥穗數的分佈歸一化爲標準正態分佈，再去查表評估其概率值。也即要計算$\frac{\bar x-\mu_0}{\delta_0}$，其中$\bar x$是B工藝的麥穗粒數均值，$\mu_0$爲A工藝的麥穗粒數均值，$\delta_0$爲A工藝的麥穗粒數均值。由於B工藝是抽取出一定的樣本數來計算均值$\bar x$的，因此不能代表總體均值。當樣本數很大時，根據大數定理可以直接認爲B工藝提高了產量；當樣本數很小時，可能是隨機誤差。因此，不妨對前面的式子再除以一個n相關的數。爲此，戈斯特構造了一個新的統計量：
$t=\frac{\bar x-\mu_0}{\delta_0/\sqrt n}\tag{1-2}$
該統計量越大，壽命AB工藝導致的差別越大，越有可能說明B工藝提高了產量。

3. t分佈

對於t統計量：$t=\frac{\bar x-\mu_0}{\delta_0/\sqrt n}$,其對應的概率密度函數也即t分佈爲：
$f(x)=\frac{\Gamma((\nu+1)/2)}{\sqrt(\nu \pi)\Gamma(\nu/2)}(1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}\tag{3-1}$
其中$\nu=n-1$稱爲自由度，$\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt(x>0)$是伽馬函數。
t分佈的函數圖像與正態分佈有點像，給定t值和自由度，可以通過查表的方式去找到對應的P值。t分佈表如下：

以本文中的例子爲例，假設置信水平wie$\alpha=0.05$，查表得T值爲2.132（單側檢驗）。假設A工藝的標準差爲$5\sqrt5$，可計算得出t=4，大於T。因此可以拒絕原假設。