假设检验入门详解

假设检验入门详解

---

参考：https://cosx.org/2010/11/hypotheses-testing/

0. 背景

在实际生产生活中，我们经常需要对一些逻辑推理进行真假判断，例如

如果你打了某种疫苗P，就不会得某种流行病Q
如果一个疑似病人隔离了14天还没确诊，那他就没有被感染新冠肺炎

在统计学里面，不会像上面那样说，而是会说：

如果你打了某种疫苗 ，就有95%的把握不会得流行病Q
如果一个疑似病人隔离了14天还没确诊，那他就有95%的把握没有被感染新冠肺炎

其中的把握水平，在统计推断中用“置信水平”来代替。置信水平是可以人为选取的。

1. 从一个硬币的例子来引入假设检验

如何从统计推断的角度来判断一个逻辑推理是否正确呢？通常，我们会给定一个置信水平，然后判断该逻辑推理是否在这个置信水平下成立。这里重新举一个硬币的例子，来引入置信水平的概念。
假设有如下命题：

if P then Q
P: 在 100 次投掷中，得到 90 次正面，10 次反面。
Q: 硬币不是均匀的。

我们想知道，如果P成立，判断Q成立的把握有多大。很多时候（但不是所有时候），在统计推断里面，要证明的结论都是直觉上可能性比较大的，直接证明可能不太方便，可以反其道行之，证明Q的反面是否成立，来推断出Q是否成立。为此，列出如下原假设和备择假设：

H0: 硬币是均匀的（P）
Ha: 硬币是不均匀的（not P）

如果原假设为真，即硬币是均匀的，就不可能会发生这样极端的事情比如：在 100 次投掷中，得到 90 次正面，10 次反面。如果真的观察到了这么极端的事情，就有把握认为硬币不是均匀的，则拒绝原假设，选择备选假设。如果观察到的是60次正面，40个反面，则没有特别大的把握拒绝原假设，这枚硬币是否有偏，需要更多的证据来证明（这通常意味着做更多的实验，比如再投1000次）。

即使观测到100次投掷中90次正面10次反面，也不能说硬币一定是不均匀的（也即不能百分之百的把握拒绝原假设）。如果原假设为真，但是拒绝了原假设，这种情况称为第一类错误。发生第一类错误的概率，称为显著性水平，用$\alpha$表示。$1-\alpha$称为置信度或者置信水平，它表示我们根据抽样样本对总体参数的估计的可靠性。$\alpha$一般是人为定的，如0.05，0.01.给定置信水平后，就可以去利用一些统计学的知识去检验原假设是否需要拒绝。
如果原假设是错误的，但是没有拒绝原假设，则称为第二类错误。如果要求犯第一类错误的概率尽可能小，就会导致第二类错误的概率增大；反之，如果要求第二类错误的Giallo极可能小，就会导致第一类错误的概率增大。在实际中需要权衡。权衡的方式就是调节$\alpha$。在实际中，我们通常认为犯第一类错误的后果比犯第二类错误的后果更为严重。例如，关于打疫苗会后会不会得病的命题，我们通常会将原假设写成：会得病，然后去搜集数据试图拒绝原假设。此时犯第一类错误的后果是比较严重的（实际会得病却认为不会得病，会放松警惕造成大流行），而犯第二类错误的后果不是很严重（实际不糊得病，却没有拒绝原假设，只是会将打疫苗的部分人隔离起来造成一定的不便）

再强调一下，一般都是先提出需要建议的假设，再搜集数据，这是统计推断的原则之一。因为如果现有了数据再提出假设，容易有主观干扰。
到这里，我们还是没有解答如何去检验原假设是否需要被拒绝。别急，接着往下看。

2. P值

如何去定义一个事件是否“极端”呢？首先我们引入“更极端”的概念。更极端，意味着概率更小。例如，91次正面9次反面，比90次正面10次反面，更为极端。因此，很自然地，我们只需要描述出原假设为真，第一类错误恰好为$\alpha$时的事件，然后判断出当前样本集合里面的事件是否比它更极端，就能判断是否要在当前显著性水平下拒绝原假设了。当然，直接这样比较麻烦，可以转换一下思路：计算出发生比当前事件（90次正面，10次反面）更极端的事件的概率P，判断P与$\alpha$的大小，如果$P<\alpha$，则说明如果原假设为真时，发生当前事件的概率很极端（比我们给定的显著性水平$\alpha$还低），因此说明原假设不合理，于是可以拒绝原假设了。此时发生第一类错误的概率小于$\alpha$。这里的概率P，称为P值。
在硬币投掷实验中，正面出现的次数服$X$服从一个二项分布：$X\sim B(n,p)$，其中$n=100,p-0.5$。根据中心极限定理，二项分布的极限分布是正态分布，因此可以由均值为$np=50$，方差为$np(1-p)=25$的正态分布来近似。我们用这个近似的正态分布的两端去考察所谓“更极端”的事件。取$\alpha=0.05$，由正态分布的性质不难得到，$P$值等于$X<10$或$X>90$的概率值，等于$2\times P(X<10)=1.2442e-15$。这个小于我们给定的$\alpha$，因此该事件很极端，原假设不合理，拒绝原假设。