戀上數據結構與算法：二叉樹的介紹(十一)

文章目錄

(一)樹形結構
(二)樹（Tree）的概念01
(三)樹（Tree）的概念02
(四)樹（Tree）的概念03
(五)二叉樹（Binary Tree）的概念
(六)二叉樹（Binary Tree）的性質
(七)真二叉樹（Proper Binary Tree）的介紹
(八)滿二叉樹（Full Binary Tree）的介紹
(九)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的概念
(十)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的性質01
(十一)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的性質02
(十二)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的面試題
(十三)國外教材的說法

(一)樹形結構

數據結構中的樹就像是一顆倒掛的樹，如下：

生活中很多地方都用到樹形結構的概念，如下：

(二)樹（Tree）的概念01

說明：

1. 下面紅色圈圈圈出來的5棵樹，都是權值爲1的節點（以下都簡稱x號節點）的子樹
   
2. 下面紅色圈圈圈出來的分別是3號節點的左子樹和右子樹
   又比如：51號節點和52號節點分別是5號節點的左子樹和右子樹
   左右子樹都是相對而言的
   
3. 節點的度是子樹的個數，比如：1號節點的度是5，2號節點的度是2
   
4. 樹的度是所有節點中的最大值，該樹的度是5
5. 葉子節點是度爲0的節點，比如：21、31、51、52、61等等

(三)樹（Tree）的概念02

說明：

1. 節點的深度是指從根節點到當前節點的唯一路徑上的節點總數，比如31號節點的深度就是3
   
2. 節點的高度是指從當前節點到最遠葉子節點路徑上的節點總數，比如說2號節點的高度不是1（21號子節點不是最遠的），而是3（221、222和223都行）
   
3. 樹的深度是指所有節點深度中的最大值，該樹的深度是4
4. 樹的高度是指所有節點高度中的最大值，該樹的高度是4
   注意：數據結構的樹是一顆倒掛的樹，我們只需要在把它倒過來，就可以理解深度和高度了
5. 一般來說，樹的深度等於樹的高度

(四)樹（Tree）的概念03

說明：有序樹是指任意子節點之間是有順序關係的，比如從左到右遞增

(五)二叉樹（Binary Tree）的概念

說明：

1. 即使某節點只有一顆子樹，也要區分左右子樹，比如96號節點是87號節點的右子樹
2. 只有一個節點的二叉樹，那個節點即使根節點，也是葉子節點，如11號節點

(六)二叉樹（Binary Tree）的性質

說明：

1. 二叉樹的葉子節點的度爲0，所以 總節點數=度爲0的節點數+度爲1的節點數+度爲2的節點數
2. 二叉樹的邊數如下：
   
3. 二叉樹的邊數等於度，所以 T=n1+2*n2
   
4. 每一個節點的頭上都有一條邊，唯獨根節點的頭上沒有邊，所以 T=n-1
   

(七)真二叉樹（Proper Binary Tree）的介紹

(八)滿二叉樹（Full Binary Tree）的介紹

說明：

1. 在同樣高度的二叉樹中，滿二叉樹的葉子節點數量最多、總節點數量最多
   比如下面這顆同高度的二叉樹，就像缺斤少兩一樣
   
2. 滿二叉樹一定是真二叉樹，真二叉樹不一定是滿二叉樹

(九)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的概念

說明：

1. 完全二叉樹從根結點至倒數第 2 層是一棵滿二叉樹
2. 滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹
3. 排列的規則如下：
   
4. 下面這顆二叉樹不是完全二叉樹
   

(十)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的性質01

注意：因爲h肯定是整數，假設log2n取4.2，由 h-1 <= log2n < h得 h=5

注意：java的int自帶floor功能，比如 int a = 5/2;，a=2

(十一)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的性質02

• 從1開始編號的情況
  
• 從0開始編號的情況
  

(十二)完全二叉樹（Complete Binary Tree）的面試題

分析如下：

最終的數學公式：n0 = floor(n/2 + 1/2)或n0 = floor((n+1)/2)
實際編程的公式：n0 = (n+1) >> 1（int自帶floor功能）

其實向下取整（floor）和向上取整（ceiling）是可以互相轉換的

(十三)國外教材的說法