1 圖的度量——cs224w

1. 怎麼衡量一個網絡

有四個指標：

1.1 Degree Distribution

度的分佈直方圖：統計不同度的個數。將其歸一化後，則反映了其分佈

1.2 path

有向圖和無向圖之間距離的長度不同

有了節點之間的度量方式，我們需要了解一對節點之間的最大/最小距離。

1.3 cluster coefficient

聚類係數起源於社交網絡。在這裏老師舉了一個栗子：如果A和B是朋友，B和C是朋友，那麼A和C可能成爲朋友。
所以，在圖中$C_i$代表第$i$個節點的聚合係數。$k_i$代表第$i$個節點的度，$e_i$則代表第$i$個節點的鄰居相互連接邊的數量。

在下圖中：

• 左圖：$k_i=4, e_i=4+2=6$
• 中間：$k_i=4, e_i=3$
• 右邊：$k_i=4, e_i=0$
  

1.4 圖組件的大小

計算圖中各個部分的大小的方法，類似於數據結構中圖的深度和廣度遍歷

2 一個具體的例子

2.1 Degree distribution

但是這種統計方式有一個缺陷，當某一個度的數量非常大時，歸一化之後其他的度基本上爲0了，所以採用對數軸進行繪製。
以msn交流爲例：


但是這種統計方式有一個缺陷，當某一個度的數量非常大時，歸一化之後其他的度基本上爲0了，所以採用對數軸進行繪製。
以msn交流爲例：

2.2 Clustering coefficient

2.3 Components size

不同組大小的個數統計。包含節點數最多的一個組是$2*10^8$，其中有大約$10^6$個孤立點。

3. 最簡單的一種圖模型——隨機圖模型

3.1 生成隨機圖

在這種模型中，兩個節點之間的連接方式都滿足獨立同分布的概率$p$。所以，即使給定了節點數量以及連接的概率，每次生成圖的樣子都是不一樣的。

相當於拿着硬幣拋，來決定兩個節點之間是否相連。

另外，對於這樣的圖，有更一般的表示方法，$G_{n,m}$中，$n$表示節點數目，$m$表示$m$條邊。

對於這樣的圖，我們如何採用上述提到的四個方法進行度量呢？

3.2 隨機圖

3.2.1 隨機圖的Degree Distribution

考慮這樣的情況，從$n$個節點中選中其中一個節點作爲研究點，那麼，至多有$n-1$個節點與之相連。在這$n-1$個節點中，找出$k$個與之相連的組合爲$\binom{n-1}{k}$，那麼，$k$個節點都與之相連的概率爲$p^k$，剩下的$n-1-k$個節點不與之相連的概率爲$(1-p)^{n-1-k}$。

故而$p(k)$的意義爲：在有$n$個節點的情況下，有$k$個節點與其中某一節點相連的概率。

通常情況下，二項分佈的期望和方差分別爲：$p(n-1)$和$p(1-p)(n-1)$。

但是，當這個無限大的時候，會出現什麼情況呢？

方差除以均值的意義爲：

隨着圖size的增加（無限大），變異係數表現爲趨近於0。這說明，隨着節點數的增加，the degree distribution 會變得越來越窄。在這樣的情況下，我們認爲節點的度數接近於$k$的值，也就是說，可以認爲所有節點都擁有相同的度。

結論：隨着節點數的增加，變異係數趨近於0，節點的度數可近似認爲是k。

3.2.2 cluster coefficient

在隨機圖中，每一條邊都符合獨立同分布，故而，相連的$k$個節點中，任意2個相連節點共有：$\binom{k}{2}$可能。所以，期望爲$p\binom{k}{2}$，代入到clustering coefficient公式中爲：$E[C]=\frac{2E[e_i]}{k_i[k_i-1]}=p$。

又因：$\bar{k}=p(n-1)$

故：$p=\frac{\bar{k}}{n-1}$

$E[C]$所代表的意義爲：在一個圖模型中，當度的期望保持不變時，隨着圖中節點數的增加，其對應邊的數量也在增加，聚合係數的期望趨近於0.

3.2.3 path

在本節中，首先要定義一個東西：expension $\alpha$。
定義：expension $\alpha$是指，若圖$G$擁有$V$個頂點和$E$條邊，且$S$是集合$V$中任意一個子集合，則原圖模型中，連接到$S$邊的數量，$S$個節點中邊的數量和$V$剩下節點邊數量最小值之比，在這些比例中，選出一個最小的，稱爲expension。

通俗的說就是：我要從圖中拿一些節點出來，需要剪斷的邊的數量。

換句話說，當我們從S爲一個點的時候，min(|S|,|V \ S|)應該爲1而不是n-1

• 第一張圖中，expension爲$1/5$，選擇5個節點時，只要斷一條邊就能夠使其完全分離。

隨着P的變化，圖component的變化情況。

MSN網絡與隨機圖的差別：

最後得到的結論：隨機圖是一個錯誤的模型，但是它能夠爲我們研究圖提供一些思路。

參考文獻

課程鏈接