RMQ（範圍最小化問題）【倍增法】

問題描述

範圍最小化問題（Range Minimum Query，RMQ）。給出一個 n 個元素的數組 $A_1, A_2,\dots,A_n$，設計一個數據結構，支持查詢 Query(L, R): 計算 $min{A_L, A_{L+1},\dots,A_R}$。

解題報告

令 $dp[i][j]$ 表示從 $i$ 開始的，長度爲 $2^j$ 的一段元素中的最小值，則可以用遞推的方式計算 $dp[i][j]$。
$dp[i][j]=min(dp[i][j-1], dp[i+2^{j-1}][j-1])$

爲什麼 dp[i][j] 表示的是 從 $i$ 開始的，長度爲 $2^j$ 的一段元素中最小值呢？
如果這樣的話，就需要在三個區間中找最小值，一方面狀態轉移方程不好寫，另一方面，時間複雜度和空間複雜度並沒有提升多少，所以是 $2^j$。

注意到 $2^j\le n$，因此 d 數組的元素個數不超過 $nlogn$，而每一項都可以在常數時間計算完畢，故總時間爲 $O(nlong)$

查詢操作很簡單，令 k 爲滿足 $2^k\le R-L+1$ 的最大整數，則以 $L$ 開頭、以 $R$ 結尾的兩個長度爲 $2^k$ 的區間合起來覆蓋了查詢區間 $[L,R]$。由於是取最小值，有些元素重複考慮了幾遍也沒有關係。

實現代碼

• 預處理

void RMQ_INIT(const vector<int>&A){
	int n= A.size();
	for(int i=0;i<n;i++)dp[i][0]=A[i];
	for(int j=1;(1<<j)<=n;j++){
		for(int i=0;i+(1<<j)-1<n;i++)
			dp[i][j]=min(dp[i][j-1],dp[i+(1<<(j-1))][j-1])
	}
}

• 查詢

int RMQ(int l, int r){
	int k=0;
	while((1<<(k+1))<=r-l+1) k++;
	return min(d[l][k], d[r-(1<<k)+1][k])
}

參考資料

[1] 算法競賽·入門經典·訓練指南 P197.