用貝葉斯公式計算甲箱子被選的概率（附計算過程以及代碼）

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假設有兩個各裝了100個球的箱子，甲箱子中有70個紅球，30個綠球，乙箱子中有30個紅球，70個綠球。假設隨機選擇其中一個箱子，從中拿出一個球記下球色再放回原箱子，如此重複12次，記錄得到8次紅球，4次綠球。問題來了，你認爲被選擇的箱子是甲箱子的概率有多大？

直接用套用貝葉斯公式來計算。但必須定義清楚 A事件，B事件。
在這個題目中，令事件B爲選擇甲箱子，令事件A爲得到8紅4綠。
則 $P(B|A)$ 即爲題目所求：在得到8紅4綠的情況下，選擇的箱子是甲箱子的概率？
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根據貝葉斯公式：$P(B | A)=\frac{P(A | B) P(B)}{P(A)}$
先來看下選擇甲箱子的情況下，得到8紅4綠的概率爲 $P(A|B)$：
$P(A|B)=C_{12}^{8}(\frac{70}{100})^{8}(\frac{30}{100})^{4}$
選擇甲箱子的概率爲 $P(B)$：
$P(B)=50\%$
得到8紅4綠的概率爲$P(A)$。可以分爲兩種情況來算，一是當選擇甲箱子的情況，另一種情況是當選擇乙箱子的情況，則：
$P(A)=(50\%) C_{12}^{8}(\frac{70}{100})^{8}(\frac{30}{100})^{4}+(50\%) C_{12}^{8}(\frac{30}{100})^{8}(\frac{70}{100})^{4}$

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綜合以上，最後根據貝葉斯公式算得：

$P(B | A)=\frac{P(A | B) P(B)}{P(A)}=96.73\%$
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用代碼實現：

from scipy.special import perm, comb

c = comb(12,8)

P_AB=c*pow(0.7,8)*pow(0.3,4)
print("P(A|B)=",P_AB)

P_B=0.5
print("P(B)=",P_B)

P_A=0.5*c*(pow(0.7,8)*pow(0.3,4)+pow(0.7,4)*pow(0.3,8))
print("P(A)=",P_A)

P_BA = P_AB*P_B/P_A
print("選擇的箱子是甲箱子的概率是：P(B|A)={0:.2%}".format(P_BA))

P(A|B)= 0.2311
P(B)= 0.5
P(A)= 0.1194
選擇的箱子是甲箱子的概率是：P(B|A)= 96.74%