用贝叶斯公式计算甲箱子被选的概率（附计算过程以及代码）

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假设有两个各装了100个球的箱子，甲箱子中有70个红球，30个绿球，乙箱子中有30个红球，70个绿球。假设随机选择其中一个箱子，从中拿出一个球记下球色再放回原箱子，如此重复12次，记录得到8次红球，4次绿球。问题来了，你认为被选择的箱子是甲箱子的概率有多大？

直接用套用贝叶斯公式来计算。但必须定义清楚 A事件，B事件。
在这个题目中，令事件B为选择甲箱子，令事件A为得到8红4绿。
则 $P(B|A)$ 即为题目所求：在得到8红4绿的情况下，选择的箱子是甲箱子的概率？
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根据贝叶斯公式：$P(B | A)=\frac{P(A | B) P(B)}{P(A)}$
先来看下选择甲箱子的情况下，得到8红4绿的概率为 $P(A|B)$：
$P(A|B)=C_{12}^{8}(\frac{70}{100})^{8}(\frac{30}{100})^{4}$
选择甲箱子的概率为 $P(B)$：
$P(B)=50\%$
得到8红4绿的概率为$P(A)$。可以分为两种情况来算，一是当选择甲箱子的情况，另一种情况是当选择乙箱子的情况，则：
$P(A)=(50\%) C_{12}^{8}(\frac{70}{100})^{8}(\frac{30}{100})^{4}+(50\%) C_{12}^{8}(\frac{30}{100})^{8}(\frac{70}{100})^{4}$

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综合以上，最后根据贝叶斯公式算得：

$P(B | A)=\frac{P(A | B) P(B)}{P(A)}=96.73\%$
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用代码实现：

from scipy.special import perm, comb

c = comb(12,8)

P_AB=c*pow(0.7,8)*pow(0.3,4)
print("P(A|B)=",P_AB)

P_B=0.5
print("P(B)=",P_B)

P_A=0.5*c*(pow(0.7,8)*pow(0.3,4)+pow(0.7,4)*pow(0.3,8))
print("P(A)=",P_A)

P_BA = P_AB*P_B/P_A
print("选择的箱子是甲箱子的概率是：P(B|A)={0:.2%}".format(P_BA))

P(A|B)= 0.2311
P(B)= 0.5
P(A)= 0.1194
选择的箱子是甲箱子的概率是：P(B|A)= 96.74%