基於雙線性插值的圖像旋轉原理及MATLAB實現（非自帶函數）

1.圖像旋轉的原理

1.1.旋轉矩陣

旋轉一幅圖像（假設這幅圖像大小是矩形的），當然應該從像素點（pixels）開始，在直角座標系中，對點$x_0=\begin{bmatrix}a_0\\b_0\\ \end{bmatrix}$逆時針旋轉角度$\theta$到$x_1=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\ \end{bmatrix}$的變換公式爲
$x_1=\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix}x_0$
那麼對圖像上的每個點調用這個旋轉公式，將舊圖像像素點的RGB值搬移到新圖像像素點，就可以將圖像旋轉到任意位置。
但是問題來了，顯示屏的像素點是有限的，這意味着顯示在顯示屏上的像素點座標必須是整數，旋轉過後的圖像的每個像素點座標難免有非整數的情況，那麼這種情況下我們怎麼處理呢？
我們不妨假設逆時針旋轉$\theta$旋轉後的圖形上所有的像素點都是整點，對於旋轉後的圖形的每個像素點$x_1$，求旋轉前圖形的對應像素點的座標$x_0$，取$\omega=-\theta$爲逆旋轉角度，則旋轉後的像素點和旋轉前的像素點的對應關係爲：
$x_0=\begin{bmatrix}cos\omega & -sin\omega \\ sin\omega & cos\omega\\ \end{bmatrix}x_1$
此時$x_0$不一定爲整點，$x_0$的像素值需要做一定的近似。近似的方法有最近鄰插值、雙線性插值等等，在這裏我們就介紹比較實用且不是很複雜的雙線性插值，該插值方法不會產生明顯失真現象。
對於像素點的旋轉座標函數編寫如下：
①座標旋轉變換函數：rot.m

function y=rot(p,angle)
%p=[x,y]爲角度制
angle=angle*pi/180;%角度制輸入進行計算
y=[cos(angle) -sin(angle);sin(angle) cos(angle)]*p';
end

1.2.雙線性插值

對於x和y座標非整數的非整點$x_p$，假設它周圍的四個整點座標分別爲$x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$（構成一個矩形）。假設第一維度是x座標，第二維度是y座標。則$x_{11}(1)=x_{21}(1)≤x_p(1)≤x_{12}(1)=x_{22}(1)$
$x_{11}(2)=x_{12}(2)≥x_p(2)≥x_{21}(2)=x_{22}(2)$
顯然，即使$x_p$爲整點，仍然存在這樣的四個點$x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$使得上式成立。
在下圖中，P爲非整點，存在4個整點$Q_{12},Q_{11},Q_{22},Q_{21}$將P點包圍在其中，設縱向比例係數$\color{blue}\beta=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}$，橫向比例係數$\color{blue}\alpha=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$顏色函數$F(P)$在四個整點處的值分比爲$F_{12},F_{11},F_{22},F_{21}$，則P點的函數值
$F_P=\beta[(1-\alpha)F_{11}+\alpha F_{21}]+(1-\beta)[(1-\alpha)F_{12}+\alpha F_{22}]$寫成矩陣的形式即爲：
$F_P=\begin{bmatrix}1-\alpha & \alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} \\[2ex] F_{21} & F_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta \\[2ex] 1-\beta \end{bmatrix}$

對於灰度圖像，$F(P)$是一維函數，對於RGB圖像，$F(P)=\begin{bmatrix}F_R(P) \\F_G(P) \\ F_B(P) \end{bmatrix}$
由於該公式較爲複雜，可以單獨編寫雙線性插值函數，輸入爲一個任意點座標，和圖像每個點的像素；輸出爲該點進行雙線性插值後的顏色函數值。但需要主要的是，若給採集的4個周圍整點，有其中一個超出了圖像邊界，考慮到圖像邊界一般爲白色，則以白色爲替代。檢測點是否在畫布內只需要條件判斷語句就夠了。
②檢測是否在畫布內的判斷程序：isinrect.m

function y=isinrect(plt,rect)
if plt(1)>=rect(1) && plt(1)<=rect(2) && plt(2)>=rect(3) && plt(2)<=rect(4)
    y=true;
else
    y=false;
end

③雙線性插值函數：linear_interp.m

function y=linear_interp(p,img)
    %p爲需要雙線性插值的點座標（向量）
    x=p(1);y=p(2);
    m=size(img,1);n=size(img,2);
    x1=floor(x);x2=ceil(x);y1=floor(y);y2=ceil(y);%[x,y]四周的四個整點
    left=x-x1;%距左邊線距離
    bottom=y-y1;%距底線距離
    plt=[x1,y2;x2,y2;x1,y2;x2,y2];
    img_rect=[1,m,1,n];%原圖像的矩形框
    pix_rect=zeros(1,4,3);
    for t=1:4
        if isinrect(plt(t,:),img_rect)
            for color=1:3
                pix_rect(1,t,color)=img(plt(t,1),plt(t,2),color);
            end
        else
            pix_rect(1,t,:)=255;%背景色爲白色
        end
    end
    pixels=zeros(1,3);%保存該點的三原色的三個像素
    pix_rect=reshape(pix_rect,2,2,3);
    for color=1:3
        pixels(color)=[bottom,1-bottom]*pix_rect(:,:,color)*[1-left;left];%雙線性像素插值
    end
    y=pixels;
end

1.3.像素點匹配

假設圖像的點都是整點的情況下，新圖像是一個旋轉後的矩形，此時需要給新圖像定界使得新圖像能夠包括在一個旋轉角度爲0°大矩形中。

$left=max(x_1,x_2,x_3,x_4),right=min(x_1,x_2,x_3,x_4)$
$top=max(y_1,y_2,y_3,y_4),bottom=min(y_1,y_2,y_3,y_4)$

filename='足球.bmp';%文件的完整路徑名
img=imread(filename);%導入圖像
% subplot(121)
% imshow(img)%展示原圖像
m=size(img,1);n=size(img,2);%統計圖像的長和寬
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四個頂點座標
for t=1:4
    plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三個頂點進行旋轉座標變換
end
%新的四個點座標的x和y邊界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%獲取新的圖像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%創建新畫布
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));

定界完成後，只需要求出新圖像定界後每個像素點對應的原圖像像素點座標，並按照雙線性插值的方法取得像素值，對應到新圖像點中，即可求出每個新圖像點的像素值，旋轉步驟即完成。要注意的是，如果雙線性插值遇到了原圖像界限外的點，爲保證程序不出錯，可以直接將界限外的點置爲0（相當於非常弱的邊緣虛化效果），或者直接將最外層邊界整點進行最近鄰插值（這種分段算法實現會略微麻煩）。主函數文件代碼如下：
④主函數文件：img_process.m

function img_process(rot_angle)
close all
filename='足球.bmp';%文件的完整路徑名
img=imread(filename);%導入圖像
figure
imshow(img)%展示原圖像
m=size(img,1);n=size(img,2);%統計圖像的長和寬
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四個頂點座標
for t=1:4
    plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三個頂點進行旋轉座標變換
end
%新的四個點座標的x和y邊界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%獲取新的圖像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%創建新畫布
for i=1:M
    for j=1:N
        init_plt=rot([i-1+left,j-1+bottom],-rot_angle);%新圖像對應原圖像的座標
        init_plt=init_plt+1;%還原到Matlab座標系
        new_img(i,j,:)=linear_interp(init_plt,img);
    end
end
figure
imshow(uint8(new_img))%展示旋轉後的新圖像（底色爲白色）

2.實現效果與說明

將上述標紅的4個M文件放在一個文件夾，並更改MATLAB目錄爲該文件夾，並在該文件夾添加一張名爲“足球.bmp”的位圖文件，在命令行輸入img_process(30)即可將該圖像旋轉30°顯示，顯示效果如下：

原圖像	新圖像（旋轉30°）

本文從原理上用MATLAB代碼實現了圖像的旋轉，如果想直接調用MATLAB的函數，請查看imrotate函數的相關說明：
new_img=imrotate(initial_img,angle,method, ‘crop’)

• angle：逆時針旋轉的角度，是角度值
• method：該參數爲插值方法，其中’bilinear’爲雙線性插值，可選
• crop：旋轉後增大圖像