文章目錄

0.符號說明

y(k)——系統響應輸出的離散值
u(k)——數字PID控制輸出的離散值
r(k)——期望輸出的離散值（事先已知），在本例中爲常數（即階躍輸入）
e(k)——e(k)=r(k)-y(k)，爲期望值-實際值，是單位負反饋的誤差比較信號

注：圖片來源於百度百科

1.如何根據連續系統建立差分方程

1.1.獲取連續系統的傳遞函數

線性定常系統的控制中，PID是個非常常見的控制方式，如果可以通過Matlab仿真出PID的控制效果圖，那麼對系統設計時的實時調試將會容易得多。在這裏我們將會以一個利用系統辨識參數的PID設計爲爲例展示Matlab仿真PID的過程。
首先需要對一個未知的系統的參數進行辨識，以延遲環節可以忽略不計的電機調速系統爲例。將時間戳導入xdata向量，對應的時刻轉速導入ydata向量，進行系統辨識

鏈接：Matlab的系統辨識

我們就以上文鏈接中辨識的系統傳遞函數爲例：
$G(s)=\frac{0.998}{0.021s+1}$ 因此通過tf函數建立系統結構體如下：

sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控對象傳遞函數，即式4.1

1.2.獲取離散系統的傳遞函數

由於是數字PID仿真，我們需要選取一個採樣時間，本案例選用的是0.005s（注意，採樣週期應該小於系統純滯後時間的0.1倍）。在對其進行數字PID控制前，我們需要將這個系統離散化：

ts=0.005;  %採樣時間=0.005s
dsys=c2d(sys,ts,'z');      %離散化

dsys即我們根據採樣週期離散化的Z變換系統。首先我們需要提取這個Z變化d那系統的參數方便後面的計算：

[num,den]=tfdata(dsys,'v');%'v'代表強制以向量的格式（默認爲元胞數組）輸出num和den

1.3.轉換爲差分方程

求解出的Z變換表達式爲 $dsys=\frac{num(1)\cdot z +num(2)}{den(1)\cdot z+den(2)}=\frac{0.2114}{z-0.7881}$
在PID仿真的過程中我們需要求解出時域表達式，因此需要藉助差分方程解決，對於以下的Z變換：

\begin{equation}
Y(z)=dsys\cdot U(z)=\frac{num(2)}{den(1)\cdot z+den(2)}\cdot U(z)
\label{eq:Sample1}
\end{equation}

\begin{equation}
zY(z)+den(2)Y(z)=num(1)zU(z)+num(2)U(z)
\label{eq:Sample2}
\end{equation}
對上式進行反Z變換，可以得到以下的差分方程：

\begin{equation}
y(k+1)+den(2)y(k)=num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
\label{eq:Sample3}
\end{equation}

\begin{equation}
y(k+1)=-den(2)y(k)+num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
\label{eq:Sample4}
\end{equation}
位置型PID仿真時實際上可以不需要保存前一個數據(u(k)和y(k))，增量型PID必須要保存前一個數據。這裏我們使用了位置型PID，但仍然利用 $u_1$ 和 $y_1$ 保存了上一個數據，僅僅是爲了演示這一過程。\begin{equation}
y(k+1)=-den(2)y(k)+num(1)u(k+1)+num(2)u(k)
\end{equation}
可以轉換爲下面的式子：
\begin{equation}
y(k)=-den(2)y_1+num(1)u(k)+num(2)u_1
\label{eq:Sample5}
\end{equation}
我們的差分方程就這樣建立完畢。注意，此差分方程僅僅是描述系統模型的運算規律的，和我們的控制無關。因此是y(k)和u(k)的映射關係。我們下面的控制則是利用負反饋信號e(k)導出u(k)的輸出，求解的是控制器u(k)的序列值。

2.基本PID控制原理

以位置型PID控制爲例。將連續的PID控制轉換爲數字式時，微分環節被用差分代替，積分環節被累加和代替，比例環節則保持不變。差分的實現非常簡單，只需要用 $e(k+1)-e(k)$ 即 $e(k)-e_1$ 等效即可。積分的實現在每一次運算的後面都累加原來的誤差，即Ee=Ee+e_1;即可。PID的控制器輸出 $u(k)=Kp\cdot e(k)+Kd\cdot (e(k)-e_1)+Ki\cdot Ee$
PID控制器構造完畢，我們需要通過r(k)和y(k)得到e(k)，再通過e(k)得出u(k)，進而再求解出y(k)，再結合r(k)求解出e(k),…以此循環，求解出離散的響應點。
詳細的代碼如下：

ts=0.005;  %採樣時間=0.005s
sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控對象傳遞函數，即式4.1
dsys=c2d(sys,ts,'z');      %離散化
[num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
e_1=0;      %前一時刻的偏差      
Ee=0;       %累積偏差
u_1=0.0;    %前一時刻的控制量
y_1=0;       %前一時刻的輸出
%PID參數
kp=0.22;    
ki=0.13;
kd=0;
u=zeros(1,1000);%預先分配內存
time=zeros(1,1000);%時刻點（設定1000個）
for k=1:1:1000
    time(k)=k*ts;   %時間參數
    r(k)=1500;      %期望值
    y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);%系統響應輸出序列
    e(k)=r(k)-y(k);   %誤差信號
    u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1); %系統PID控制器輸出序列
    Ee=Ee+e(k);    %誤差的累加和
    u_1=u(k);    	%前一個的控制器輸出值
    y_1=y(k);    	%前一個的系統響應輸出值
    e_1=e(k);		%前一個誤差信號的值
end
%（僅繪製過渡過程的曲線，x座標限制爲[0,1]）
p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;%指令信號的曲線（即期望輸入）
p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);%不含積分分離的PID曲線
hold on;

輸出的PID控制曲線如下：

3.比較PID輸出，分析參數產生的影響

一個基本的PID就完成了。下面如果我們想要知道修改PID的三個參數kp,ki,kd會帶來什麼效果，只需要在程序中修改即可。爲了方便起見，我們建立一個PID的數組，kp,ki,kd每次都取數組的一個值，然後設定一個大循環開始循環仿真。再利用subplot輸出子圖的方式將所有的PID效果都輸出到一個圖進行對比。該代碼根據上述代碼修改已經很容易，PID比較圖的代碼如下：

close all
PID=[0.22,0.13,0;
    0.4,0.13,0;
    0.4,0.25,0;
    0.8,0.23,0.4;
    0.8,0.2,1;
    0.7,0.2,0.9];%初始化PID參數
for pid=1:1:6
ts=0.005;  %採樣時間=0.005s
sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控對象傳遞函數，即式4.1
dsys=c2d(sys,ts,'z');      %離散化
[num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
e_1=0;      %前一時刻的偏差      
Ee=0;       %累積偏差
u_1=0.0;    %前一時刻的控制量
y_1=0;       %前一時刻的輸出
%PID參數
kp=PID(pid,1);    
ki=PID(pid,2);
kd=PID(pid,3);
u=zeros(1,1000);
time=zeros(1,1000);
for k=1:1:1000
    time(k)=k*ts;   %時間參數
    r(k)=1500;      %給定量
    y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
    e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
    u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
    Ee=Ee+e(k);    
    u_1=u(k);    
    y_1=y(k);    
    e_1=e(k);
end
subplot(2,3,pid);
p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;
p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);
title(['Kp=',num2str(kp),' Ki=',num2str(ki),' Kd= ',num2str(kd)]);
hold on;
end

輸出的子圖矩陣如下：

可以發現，修改Kp會造成上升時間的縮短，但是有可能也會帶來較大的超調。積分的增加是一個嚴重的滯後環節，會減小相位裕度，也會帶來超調（超調量並不是絕對的，相對於較小的Kp可能會產生較大的超調，而Kp較大時超調會減小（例如第一行的1圖和2圖的對比））。然而積分的引入也是必要的，否則將會很長時間無法削弱誤差e(k)（例如第二行第二個圖）。微分的引入相當於一個超前校正，會減少超調，但是過渡的微分很可能會造成尾部振盪，系統逐漸變得不穩定。因此微分和積分之間需要一個平衡，當滿足這個平衡的時候，系統幾乎沒有振盪，同時響應速度也較快。（第一行的圖3是積分過多，產生超調，第二行的圖1和圖3就比較理想）
綜合上述，PID的調節經驗可以歸結爲以下幾點：

Kp較小時，系統對微分和積分環節的引入較爲敏感，積分會引起超調，微分可能會引起振盪，而振盪劇烈的時候超鐵也會增加。
Kp增大時，積分環節由於滯後產生的超調逐漸減小，此時如果想要繼續減少超調可以適當引入微分環節。繼續增大Kp系統可能會不太穩定，因此在增加Kp的同時引入Kd減小超調，可以保證在Kp不是很大的情況下也能取得較好的穩態特性和動態性能。
Kp較小時，積分環節不宜過大，Kp較大時積分環節也不宜過小（否則調節時間會非常地長），在下面這個例子中我們還會介紹到，當使用分段PID，在恰當的條件下分離積分，可以取得更好的控制效果。原因在於在穩態誤差即將滿足要求時，消除了系統的滯後。因此係統超調會明顯減少。本例中採樣的抗積分飽和的方法是遇限削弱積分法。

4.改進PID算法（遇限削弱積分法）

遇限削弱積分法的原理是
當 $u(k)>u_{max}$ 時，若e(k)>0即輸出值還未到達指定值，則認爲積分會帶來滯後，不再積分。
當 $u(k)<0$ 時，若e(k)<0即輸出值超過了指定值，則認爲積分會帶來滯後，不再積分。
在本案例中認爲 $u_{max}=r(k)$
改進PID算法如下（需要些兩個循環，當然也可以用一個循環，將其中的PID設爲一個子過程調用）：

close all
ts=0.005;  %採樣時間=0.005s
sys=tf(0.998,[0.021,1]);   %建立被控對象傳遞函數，即式4.1
dsys=c2d(sys,ts,'z');      %離散化
[num,den]=tfdata(dsys,'v');   %
e_1=0;      %前一時刻的偏差      
Ee=0;       %累積偏差
u_1=0.0;    %前一時刻的控制量
y_1=0;       %前一時刻的輸出
%PID參數
kp=0.22;    
ki=0.13;
kd=0;
u=zeros(1,1000);
time=zeros(1,1000);
for k=1:1:1000
    time(k)=k*ts;   %時間參數
    r(k)=1500;      %給定量
    y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1+num(1)*u(k);
    e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
    u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
    Ee=Ee+e(k);    
    u_1=u(k);    
    y_1=y(k);    
    e_1=e(k);
end
p1=plot(time,r,'-.');xlim([0,1]);hold on;
p2=plot(time,y,'--');xlim([0,1]);
hold on;
a=1;%控制積分分離的二值數
e_1=0;Ee=0;u_1=0.0;y_1=0;%重新初始化       
for k=1:1:1000
    time(k)=k*ts;   %時間參數
    r(k)=1500;      %給定量
    y(k)=-1*den(2)*y_1+num(2)*u_1;
    e(k)=r(k)-y(k);   %偏差
    u(k)=kp*e(k)+ki*Ee+kd*(e(k)-e_1);   
     if ((u(k)>r(k)) && (e(k)>0))||((u(k)<0) && (e(k)<0))
         a=0;
     else 
         a=1;
     end     
    Ee=Ee+a*e(k);    
    u_1=u(k);    
    y_1=y(k);    
    e_1=e(k);
end
p3=plot(time,y,'-');xlim([0,1]);
title('含積分分離與不含積分分離的對比');
legend([p1,p2,p3],'指令信號','不含積分分離','含積分分離');

輸出的曲線對比圖如下：

可以發現，系統的超調量明顯減少了，調節時間也減少了一點。原因在於我們採用了分段PID的手段，既消除了穩態誤差還削弱了積分環節帶來的滯後影響。

5.simulink仿真

需要的模塊名稱（不區分大小寫）如下：

gain（參數分別爲0.22和0.13/0.005）
sum（參數分別爲"|±"和"|++"）
integrator
scope
注意：本文使用的是離散PID仿真，而simulink使用的是連續系統仿真，轉換PID參數時P參數不變，I參數應該除以仿真間隔Ts=0.005，D參數應該乘Ts。

以表中第一組PI參數爲例：

得到的示波器曲線如下：

希望本文對您有幫助，謝謝閱讀。

Matlab仿真PID控制（帶M文件、simulink截圖和參數分析）

文章目錄

0.符號說明

1.如何根據連續系統建立差分方程

1.1.獲取連續系統的傳遞函數

1.2.獲取離散系統的傳遞函數

1.3.轉換爲差分方程

2.基本PID控制原理

3.比較PID輸出，分析參數產生的影響

4.改進PID算法（遇限削弱積分法）

5.simulink仿真

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