基于双线性插值的图像旋转原理及MATLAB实现（非自带函数）

1.图像旋转的原理

1.1.旋转矩阵

旋转一幅图像（假设这幅图像大小是矩形的），当然应该从像素点（pixels）开始，在直角座标系中，对点$x_0=\begin{bmatrix}a_0\\b_0\\ \end{bmatrix}$逆时针旋转角度$\theta$到$x_1=\begin{bmatrix}a_1\\b_1\\ \end{bmatrix}$的变换公式为
$x_1=\begin{bmatrix}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta\\ \end{bmatrix}x_0$
那么对图像上的每个点调用这个旋转公式，将旧图像像素点的RGB值搬移到新图像像素点，就可以将图像旋转到任意位置。
但是问题来了，显示屏的像素点是有限的，这意味着显示在显示屏上的像素点座标必须是整数，旋转过后的图像的每个像素点座标难免有非整数的情况，那么这种情况下我们怎么处理呢？
我们不妨假设逆时针旋转$\theta$旋转后的图形上所有的像素点都是整点，对于旋转后的图形的每个像素点$x_1$，求旋转前图形的对应像素点的座标$x_0$，取$\omega=-\theta$为逆旋转角度，则旋转后的像素点和旋转前的像素点的对应关系为：
$x_0=\begin{bmatrix}cos\omega & -sin\omega \\ sin\omega & cos\omega\\ \end{bmatrix}x_1$
此时$x_0$不一定为整点，$x_0$的像素值需要做一定的近似。近似的方法有最近邻插值、双线性插值等等，在这里我们就介绍比较实用且不是很复杂的双线性插值，该插值方法不会产生明显失真现象。
对于像素点的旋转座标函数编写如下：
①座标旋转变换函数：rot.m

function y=rot(p,angle)
%p=[x,y]为角度制
angle=angle*pi/180;%角度制输入进行计算
y=[cos(angle) -sin(angle);sin(angle) cos(angle)]*p';
end

1.2.双线性插值

对于x和y座标非整数的非整点$x_p$，假设它周围的四个整点座标分别为$x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$（构成一个矩形）。假设第一维度是x座标，第二维度是y座标。则$x_{11}(1)=x_{21}(1)≤x_p(1)≤x_{12}(1)=x_{22}(1)$
$x_{11}(2)=x_{12}(2)≥x_p(2)≥x_{21}(2)=x_{22}(2)$
显然，即使$x_p$为整点，仍然存在这样的四个点$x_{11},x_{12},x_{21},x_{22}$使得上式成立。
在下图中，P为非整点，存在4个整点$Q_{12},Q_{11},Q_{22},Q_{21}$将P点包围在其中，设纵向比例系数$\color{blue}\beta=\frac{y-y_2}{y_1-y_2}$，横向比例系数$\color{blue}\alpha=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$颜色函数$F(P)$在四个整点处的值分比为$F_{12},F_{11},F_{22},F_{21}$，则P点的函数值
$F_P=\beta[(1-\alpha)F_{11}+\alpha F_{21}]+(1-\beta)[(1-\alpha)F_{12}+\alpha F_{22}]$写成矩阵的形式即为：
$F_P=\begin{bmatrix}1-\alpha & \alpha \end{bmatrix}\begin{bmatrix} F_{11} & F_{12} \\[2ex] F_{21} & F_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\beta \\[2ex] 1-\beta \end{bmatrix}$

对于灰度图像，$F(P)$是一维函数，对于RGB图像，$F(P)=\begin{bmatrix}F_R(P) \\F_G(P) \\ F_B(P) \end{bmatrix}$
由于该公式较为复杂，可以单独编写双线性插值函数，输入为一个任意点座标，和图像每个点的像素；输出为该点进行双线性插值后的颜色函数值。但需要主要的是，若给采集的4个周围整点，有其中一个超出了图像边界，考虑到图像边界一般为白色，则以白色为替代。检测点是否在画布内只需要条件判断语句就够了。
②检测是否在画布内的判断程序：isinrect.m

function y=isinrect(plt,rect)
if plt(1)>=rect(1) && plt(1)<=rect(2) && plt(2)>=rect(3) && plt(2)<=rect(4)
    y=true;
else
    y=false;
end

③双线性插值函数：linear_interp.m

function y=linear_interp(p,img)
    %p为需要双线性插值的点座标（向量）
    x=p(1);y=p(2);
    m=size(img,1);n=size(img,2);
    x1=floor(x);x2=ceil(x);y1=floor(y);y2=ceil(y);%[x,y]四周的四个整点
    left=x-x1;%距左边线距离
    bottom=y-y1;%距底线距离
    plt=[x1,y2;x2,y2;x1,y2;x2,y2];
    img_rect=[1,m,1,n];%原图像的矩形框
    pix_rect=zeros(1,4,3);
    for t=1:4
        if isinrect(plt(t,:),img_rect)
            for color=1:3
                pix_rect(1,t,color)=img(plt(t,1),plt(t,2),color);
            end
        else
            pix_rect(1,t,:)=255;%背景色为白色
        end
    end
    pixels=zeros(1,3);%保存该点的三原色的三个像素
    pix_rect=reshape(pix_rect,2,2,3);
    for color=1:3
        pixels(color)=[bottom,1-bottom]*pix_rect(:,:,color)*[1-left;left];%双线性像素插值
    end
    y=pixels;
end

1.3.像素点匹配

假设图像的点都是整点的情况下，新图像是一个旋转后的矩形，此时需要给新图像定界使得新图像能够包括在一个旋转角度为0°大矩形中。

$left=max(x_1,x_2,x_3,x_4),right=min(x_1,x_2,x_3,x_4)$
$top=max(y_1,y_2,y_3,y_4),bottom=min(y_1,y_2,y_3,y_4)$

filename='足球.bmp';%文件的完整路径名
img=imread(filename);%导入图像
% subplot(121)
% imshow(img)%展示原图像
m=size(img,1);n=size(img,2);%统计图像的长和宽
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四个顶点座标
for t=1:4
    plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三个顶点进行旋转座标变换
end
%新的四个点座标的x和y边界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%获取新的图像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%创建新画布
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));

定界完成后，只需要求出新图像定界后每个像素点对应的原图像像素点座标，并按照双线性插值的方法取得像素值，对应到新图像点中，即可求出每个新图像点的像素值，旋转步骤即完成。要注意的是，如果双线性插值遇到了原图像界限外的点，为保证程序不出错，可以直接将界限外的点置为0（相当于非常弱的边缘虚化效果），或者直接将最外层边界整点进行最近邻插值（这种分段算法实现会略微麻烦）。主函数文件代码如下：
④主函数文件：img_process.m

function img_process(rot_angle)
close all
filename='足球.bmp';%文件的完整路径名
img=imread(filename);%导入图像
figure
imshow(img)%展示原图像
m=size(img,1);n=size(img,2);%统计图像的长和宽
plt=[0,0;m,0;m,n;0,n];%四个顶点座标
for t=1:4
    plt(t,:)=ceil(rot(plt(t,:),rot_angle));%三个顶点进行旋转座标变换
end
%新的四个点座标的x和y边界值
left=min(plt(:,1));right=max(plt(:,1));
bottom=min(plt(:,2));top=max(plt(:,2));
M=right-left;N=top-bottom;%获取新的图像大小
new_img=255*ones(M,N,3);%创建新画布
for i=1:M
    for j=1:N
        init_plt=rot([i-1+left,j-1+bottom],-rot_angle);%新图像对应原图像的座标
        init_plt=init_plt+1;%还原到Matlab座标系
        new_img(i,j,:)=linear_interp(init_plt,img);
    end
end
figure
imshow(uint8(new_img))%展示旋转后的新图像（底色为白色）

2.实现效果与说明

将上述标红的4个M文件放在一个文件夹，并更改MATLAB目录为该文件夹，并在该文件夹添加一张名为“足球.bmp”的位图文件，在命令行输入img_process(30)即可将该图像旋转30°显示，显示效果如下：

原图像	新图像（旋转30°）

本文从原理上用MATLAB代码实现了图像的旋转，如果想直接调用MATLAB的函数，请查看imrotate函数的相关说明：
new_img=imrotate(initial_img,angle,method, ‘crop’)

• angle：逆时针旋转的角度，是角度值
• method：该参数为插值方法，其中’bilinear’为双线性插值，可选
• crop：旋转后增大图像