[CTF]學習筆記

寫在前面：這個帖也同樣是開來做坑的（（

域

有限域

有限域的引入

RSA

n=p*q，p與q爲血長的質數。

encryption:
持有公鑰（n,e）
將plaintext按照n的長度分段，
將每段plaintext求e次冪，並模n，得到密文。

decryption:
持有私鑰d=inv(e mod (p-1)(q-1))
plaintext就是密文求d次冪，並模n。

這樣能夠decryption的原理：


其實這裏雖然說是follows by Chinese remainder theorem，但這裏可以藉助最小公倍數的性質推導：
由最小公倍數的性質，我們知道
$a_{i}|m (1\leq i\leq k)\Leftrightarrow [a_1,a_2,...,a_k]|m$
因此，如果
$a\equiv b\mod m_i（1\leq m\leq k）$
即
$a-b\equiv 0\mod m_i(1\leq m\leq k)$
即
$m_i|a-b(1\leq m\leq k)$
同時成立的條件爲
$[m_1,m_2,...m_k]|a-b$
即
$a-b\equiv 0 \mod [m_1,m_2,...,m_k]$
也就是$a\equiv b\mod [m_1,m_2,...,m_k]$
此處，$(q,p)=1$
因此$[q,p]=q\times p$
所以$C^d\equiv M\mod pq$

解碼例子：
我不知道爲什麼原本用線性求逆元會出現0.所以用了擴歐求逆元。（此處再挖坑，有空搞清楚）
題目：dmath 4.6 26
題目大意：解RSA。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll mod=52*60,n=53*61;
void ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return ;
	}
	ex_gcd(b,a%b,y,x);
	y-=a/b*x;
}
ll mod_inverse(ll a,ll m){
	ll x,y;
	ex_gcd(a,m,x,y);
	return (m+x%m)%m;//最小正整數解
}
ll quickp(ll a,ll k){
	a%=n;
	ll ans=1;
	while(k){
		if(k&1) ans=(ans*a)%n;
		a=(a*a)%n;
		k>>=1;
	}
	return ans;
}
int main(){
	ll n=53*61,e=17;
	ll m1=3185,m2=2038,m3=2460,m4=2550;
	ll d=mod_inverse(e,mod);
	ll r1=quickp(m1,d)%n,r2=quickp(m2,d)%n;
	ll r3=quickp(m3,d)%n,r4=quickp(m4,d)%n;
	printf("%c%c%c%c",r1/100+'a',r1%100+'a',r2/100+'a',r2%100+'a');
	printf("%c%c%c%c",r3/100+'a',r3%100+'a',r4/100+'a',r4%100+'a');
}