前言：又到了一週一次的寫博客環節了，嗯···沒什麼存貨了，上一週沒有看多少關於數據結構的內容，也沒記什麼筆記；我掙扎了一下，想停更一週，但是好不容易堅持了9周，一定要堅持到今年考研結束，甚至堅持到以後。我決定借鑑一下上次湊單買的《編程之美》的一個關於位運算的案列，“水”一期博客。
一、問題提出
- 對於一個字節（8bit)的無符號整型變量，求其二進制表示中"1"的個數
- 相關概念補充：1字節包含8位，C語言用字節（byte）表示存儲系統字符集所需的大小（注意：計算機界通常用默認一字節是8位的）。如下圖所示，從左往右給這八位分別編號7~0。在1字節中，編號爲7的位被稱爲高階位，編號是0的位被稱爲低階位；每一位對應的編號對應2相應的指數。
- 這裏，128是2的7次冪，以此類推；該字節能表示的最大數字都設置爲1：11111111.則這個二進制數的值爲：
- 128 + 64 + 32+ 16 + 8 + 4+ 2 +1 = 256
- 而該字節最小的二進制數是00000000，其值是0；因此，一字節可以存儲0~255範圍內的數字，共256個。
二、分析與解法
1、解法一；O(log2v)
- 對於二進制操作，每除一個2，原來的數字將會減少一個0，如果除的過程有餘，就表示當前位置有一個1；
- 以10100010爲例：
- 第一次除2，商爲1010001，餘0；
- 第二次除2，商101000，於1.
- 因此，可以根據上述特點，讓一個二進制數依次除以2，判斷餘數是否爲1來計數1的個數。
int count(byte v)
{
int num = 0;
while(v)
{
if(v%2 ==1)
{
num++;
}
v = v/2;
}
return num;
}
2、解法二;O(log2v)
- 使用向右移的位操作同樣可以達到相除的效果，這裏的問題是如何判斷是否有1處在？
- 解決方法，用該八位數與00000001相”與"，如果結果爲1，則表示當前的八位數最後一位是1，否則爲0.
int count(byte v)
{
int num = 0;
while(v)
{
num + = v & 0x01;
v >>= 1; //v每位數字向右移動1
}
return num;
}
3、解法三；O(M)M爲1的個數
- 前面兩個解法，都需要經過8次相除或者移位來累計1的個數，能不能只考慮1所在的位置，跳過0的位置，來直接累計呢？
- 假設只有一個1：01000000；
- 判斷操作爲：01000000&（01000000 - 00000001） =01000000&00111111 =0；
- 即通過v直接減1跳過0所在的位
int count(byte v)
{
int num = 0;
while(v)
{
v &= (v-1);
num++;
}
return num;
}
4、解法4;O（1）
以空間換時間,直接將八位二進制數所有的可能情況預先算出寫入表中，遇到時直接查詢即可，適用於頻繁使用的算法中；
/* 預定義結果表 */
int countTable[256] =
{
0,1,2...//懶得打字了
...
...
};
int count(byte v)
{
//查表
return countTable[v];
}
解法1和2很多人都想得到，而3、4可能有少數老哥能想到，這也許是靈機一動的頭腦風暴，但是大多數因該是見多識廣的經驗使然。
結束——