OpenGL學習筆記：數學基礎

本篇對OpenGL學習過程中遇到的關鍵的矩陣運算做一個總結，方便以後查閱。

向量

向量高中就接觸了，這個問題應該不大，向量就是一個有方向的量，具有平移不變性，因此我們可以默認所有的向量都是以0點爲起點，這樣就可以只用一個點就表示出一個向量了。

向量計算

向量和標量的運算

向量可以和標量進行加減乘除取反等運算，依次用向量的各個標量去和標量進行運算就可以了，這個不多說，下面給出加法的例子，減乘除取反也是一樣
$\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) + 3 = \left( \begin{array}{ccc} 1+3 \\ 2+3 \\ 3+3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right)$

向量加減

和向量與標量的加減法計算差不多，各個分量對應運算即可。
$\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1+4 \\ 2+5 \\ 3+6 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 5 \\ 7 \\ 9 \end{array} \right)$
向量減法有個特性在OpenGL中會經常用到，我們看下圖：

上圖是一個向量減法的計算，$\vec{w}= \vec{u}-\vec{v}$，我們再將$\vec{w}$平移至$\vec{k}$，可以看到向量$\vec{k}$的方向就是B點指向A點的方向，這個特性在OpenGL控制攝像機的朝向時候會用到。

向量長度

向量長度又叫向量的模，用|v|表示，這個也沒啥難度，用勾股定理就能算，看下下圖就懂了

向量乘法

向量的普通乘法沒有意義，但是可以有點乘和叉乘：點乘(Dot Product)，記作$\vec{v} \cdot \vec{k}$；叉乘(Cross Product)，記作$\vec{v} \times\vec{k}$

點乘

點乘的公式：

$\vec{v}⋅\vec{k}=|\vec{v}|⋅|\vec{k}|⋅cosθ$

如果把這個公式變形可以用來計算向量的夾角
$cosθ = \dfrac{\vec{v}⋅\vec{k}}{|\vec{v}|⋅|\vec{k}|}$
那怎麼計算v⋅k呢？就是各個分量依次相乘，再將結果相加，如下面的向量
$\left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 4 \\ 5 \\ 6 \end{array} \right) = (1\times4)+(2\times5)+(3\times6)=32$
則這兩個向量的夾角的餘弦值就是
$cosθ = \dfrac{\vec{v}⋅\vec{k}}{|\vec{v}|⋅|\vec{k}|} =\dfrac{32}{|\vec{v}|⋅|\vec{k}|}$
好吧，$\vec{v}$和$\vec{k}$的模我就不算了，領會精神
公式推導如下圖

叉乘

叉乘只在3D空間中有定義，它需要兩個不平行向量作爲輸入，生成一個正交於兩個輸入向量的第三個向量。
在攝像機章節中，我們用到了一個glm::lookAt函數來設置攝像機，該函數有三個參數，分別是攝像機位置、攝像機觀察的位置和上向量。而攝像機實際上還需要一個指向方向向量和一個右向量，其中，方向向量是用目標的位置向量和攝像機位置向量做差得到的，右向量就是用上向量和方向向量進行叉乘得到的。
下圖是推導過程

整理成矩陣格式就是
$\left( \begin{array}{ccc} A_x \\ A_y \\ A_z \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} B_x \\ B_y \\ B_z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} A_y \cdot B_z-A_z \cdot B_y\\ A_z \cdot B_x-A_x \cdot B_z\\ A_x \cdot B_y-A_y \cdot B_x\\ \end{array} \right)$

向量標準化

模長爲1的向量通常成爲標準向量，向量標準化就是求與該向量方向相同，模長爲1的向量，即求向量方向上的標準向量，計算方法如下圖，下圖截取自同濟版高數教材第七版下冊

矩陣

矩陣的數學定義我這裏就不說了（其實是不會-_-!），我覺得只要學過的人就算時間再久再怎麼忘了，只要見到應該還認識，矩陣就長這樣
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 &6\end{array} \right)$
這是一個2行3列的矩陣，記作2 $\times$ 3

矩陣的加減

矩陣與標量相加減

和向量一樣，所有元素依次相加減即可
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 &4 \end{array} \right) + 3 = \left( \begin{array}{ccc} 1+3 & 2+3 \\ 3+3 & 4 + 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 4 & 5 \\ 6 & 7 \end{array} \right)$

矩陣與矩陣相加減

和向量一樣，各個對應元素依次相加減即可
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 &4 \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} 5 & 6 \\ 7 &8 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4 + 8 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{array} \right)$

矩陣的數乘

同樣的，所有元素依次相乘，標量就是用它的值縮放(Scale)矩陣的所有元素。
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 \\ 3 &4 \end{array} \right) \times 3 = \left( \begin{array}{ccc} 1\times3 & 2\times3 \\ 3\times3 & 4 \times 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{array} \right)$

矩陣相乘

關於矩陣相乘，兩個前提條件一定要注意

1. 只有當左側矩陣的列數與右側矩陣的行數相等，兩個矩陣才能相乘。即$A_{m\times n} \cdot B_{n\times l}=C_{m\times l}$
2. 矩陣相乘不遵守交換律(Commutative)，也就是說$A \cdot B \neq B \cdot A$。
3. 設0矩陣爲$O$，$A \cdot B=O$不能推出$A=O$或$B=O$。同樣，若$A \neq O$，而$A\cdot(X-Y)=O$也不能得出$X=Y$的結論，例如
   $\left( \begin{array}{ccc} 2 & 4 \\ -3 &-6 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} -2 & 4 \\ 1 &-2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 \\ 0 &0 \end{array} \right)$

矩陣相乘的公式也好蛋疼，我們用一個例子來說明矩陣相乘是怎麼算的
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 &5 &6 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 7 & 8 \\ 9 &10 \\ 11 &12 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1\times7+2\times9+3\times11&1\times8+2\times10+3\times12 \\ 4\times7+5\times9+6\times11&4\times8+5\times10+6\times12 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{array} \right)$
從這個例子可以看出爲什麼矩陣相乘要求左側列數等於右側行數了，如果不相等則沒法計算，也能看出爲什麼結果矩陣的行數等於左側的行數，結果矩陣的列數等於右側的列數了
這個計算方法很是蛋疼，幸運的是我們可以把這個計算過程交給電腦去做，下面是推導過程
設有兩個線性變換

矩陣與向量相乘

向量就是一個具有N行1列的矩陣，矩陣與向量相乘遵守矩陣與矩陣相乘的法則，這裏不再多說，只要注意矩陣的行列數即可

單位矩陣

單位矩陣就是對角線上的元素都是1，其他元素都是0的矩陣，這貨長這樣
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right)$
這是一個$4\times4$的矩陣，爲毛這或叫單位矩陣呢？我們來看下下面的矩陣相乘
$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1\times1+0\times2+0\times3+0\times4 \\ 0\times1+1\times2+0\times3+0\times4 \\ 0\times1+0\times2+1\times3+0\times4 \\ 0\times1+0\times2+0\times3+1\times4 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 1\times1 \\ 1\times2 \\ 1\times3 \\ 1\times4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right)$
單位矩陣和任何矩陣相乘結果都等於原矩陣，類似於乘法計算中1和任何數相乘結果都是原數一樣。

矩陣的逆

餘子式和代數餘子式

在n階行列式中，把$(i,j)$元$a_{ij}$所在的地$i$行和第$j$列劃去後，留下來的$n-1$階行列式叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的餘子式，記作$M_{ij}$；記
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
$A_{ij}$叫做$(i,j)$元$a_{ij}$的代數餘子式，例如四階行列式
$D=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} &a_{12} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21} &a_{22} & a_{23} &a_{24} \\ a_{31} &a_{32} & a_{33} &a_{34} \\ a_{41} &a_{42} & a_{43} &a_{44} \\\end{array} \right|$
中$(3,2)$元$a_{32}$的餘子式和代數餘子式分別爲
$M_{32}=\left| \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{13} &a_{14} \\ a_{21} & a_{23} &a_{24} \\ a_{41} & a_{43} &a_{44} \end{array} \right|$
$A_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=-M_{32}$

伴隨矩陣

由n階方陣A的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱爲方陣A的行列式，記作det A 或|A|。
行列式|A|的各個元素的代數餘子式$A_{ij}$所構成的如下的矩陣
$A^*=\left( \begin{array}{ccc} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{n1} \\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2} \\ \vdots & \vdots & \ & \vdots \\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \\ \end{array} \right)$
稱爲矩陣A的伴隨矩陣，簡稱伴隨陣

逆矩陣

求逆矩陣的過程：首先將矩陣寫成行列式，然後求行列式的所有代數餘子式，再將所有的代數餘子式組合成新的矩陣（注意行列變化），即求伴隨矩陣，最後用行列式的倒數乘以伴隨矩陣。

應用

具體應用看下篇OpenGL學習筆記：數學基礎和常用矩陣總結（二）