劍指 Offer 47. 禮物的最大價值（動態規劃 / DFS）

劍指 Offer 47. 禮物的最大價值

在一個 m*n 的棋盤的每一格都放有一個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大於 0）。你可以從棋盤的左上角開始拿格子裏的禮物，並每次向右或者向下移動一格、直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及其上面的禮物的價值，請計算你最多能拿到多少價值的禮物？

示例 1:

輸入: 
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
輸出: 12
解釋: 路徑 1→3→5→2→1 可以拿到最多價值的禮物

提示：

• 0 < grid.length <= 200
• 0 < grid[0].length <= 200

分析

1. 既然是路徑問題，那麼顯然想到深度遍歷，從[0,0]開始搜索，每次往右或者往下，直到走到了右下角。缺點顯而易見：時間複雜度太高，如果矩陣很大，就會超時。

2. 既然限定了路徑是從左到右，從上到下，那麼就不會有回去的情況，每個點只會被訪問一次，就可以用動態規劃來優化時間複雜度。每個點上的最大值，要麼是從上面走過來的，要麼是從左面走過來的，所以得出如下遞推方程：

grid[i][j] = max(grid[i-1][j]+grid[i][j], grid[i][j-1]+grid[i][j]

代碼

dfs超時

class Solution {
    private int max = 0;
    public int maxValue(int[][] grid) {
        //深度搜索，超時
        dfs(0,0,sum,grid);
        return max;
        
    }

    
    public void dfs(int i, int j, int sum, int[][] grid){
        //越界檢查
        if(i>=grid.length) return;
        if(j>=grid[0].length) return;

        sum+=grid[i][j];

        //System.out.println(sum);
        if(i == grid.length-1 && j == grid[0].length-1){
            max = Math.max(sum,max);
        }

        //向下遞歸
        dfs(i+1,j,sum,grid);
        dfs(i,j+1,sum,grid);

        //恢復現場
        sum-=grid[i][j];
    }
}

動態規劃

class Solution {
    private int max = 0;
    public int maxValue(int[][] grid) {
        for(int i = 0; i<grid.length; i++){
            for(int j = 0; j<grid[0].length; j++){
                if(i == 0 && j == 0) continue;
                
                //兩側
                if(i == 0) {grid[i][j] = grid[i][j-1]+grid[i][j];continue;}
                if(j == 0) {grid[i][j] = grid[i-1][j]+grid[i][j];continue;}

                //其餘的點
                grid[i][j] = Math.max(grid[i][j]+grid[i-1][j],grid[i][j]+grid[i][j-1]);
            }
        }
        return grid[grid.length-1][grid[0].length-1];
    }

}