來源：數學中國
早期萌芽時期：
1、 古西方萌芽時期：
公元前七世紀，泰勒斯對圖形的面積、體積與的長度的研究就含有早期微積分的思想，儘管不是很明顯。公元前三世紀，偉大的全能科學家阿基米德利用窮竭法推算出了拋物線弓形、螺線、圓的面積以及橢球體、拋物面體等各種複雜幾何體的表面積和體積的公式，其窮竭法就類似於現在的微積分中的求極限。此外，他還計算出Π的近似值，阿基米德對於微積分的發展起到了一定的引導作用。
2. 古中國萌芽時期：
三國後期的劉徽發明了著名的“割圓術”，即把圓周用內接或外切正多邊形窮竭的一種求圓周長及面積的方法。“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣。”不斷地增加正多邊形的邊數，進而使多邊形更加接近圓的面積，在我國數學史上算是偉大創舉。
另外在南朝時期傑出的祖氏父子更將圓周率計算到小數點後七位數，他們的精神值得我們學習。此外祖𣈶之提出了祖𣈶原理：“冪勢即同，則積不容異”，即界於兩個平行平面之間的兩個幾何體，被任一平行於這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等，比歐洲的卡瓦列利原理早十個世紀。祖𣈶之利用牟合方蓋（牟合方蓋與其內切球的體積比爲4：Π）計算出了球的體積，糾正了劉徽的《九章算術注》中的錯誤的球體積公式。
建立成型時期：
1.十七世紀上半葉：
這一時期，幾乎所有的科學大師都致力於解決速率、極值、切線、面積問題，特別是描述運動與變化的無限小算法，並且在相當短的時間內取得了極大的發展。
天文學家開普勒發現行星運動三大定律，並利用無窮小求和的思想，求得曲邊形的面積及旋轉體的體積。意大利數學家卡瓦列利與同時期發現卡瓦列利原理（祖𣈶原理），利用不可分量方法冪函數定積分公式，此外，卡瓦列利還證明了吉爾丁定理（一個平面圖形繞某一軸旋轉所得立體圖形體積等於該平面圖形的重心所形成的圓的周長與平面圖形面積的乘積。），對於微積分的雛形的形成影響深遠。
此外解析幾何創始人——法國數學家笛卡爾的代數方法對於微積分的發展起了極大的推動。法國大數學家費馬在求曲線的切線及函數的極值方面貢獻巨大。其中就有關於數學分析的費馬定理：設函數f(x)是在某一區間Χ內定義的，並且在這區間的內點c取最大（最小）值。若在這一點處存在着有限導數f'(c),則必須有f'(c)=0。
2. 十七世紀下半葉：
英國科學家牛頓開始關於微積分的研究，他受了沃利斯的《無窮算術》的啓發，第一次把代數學擴展到分析學。1665年牛頓發明正流數術（微分），次年又發明反流數術。之後將流數術總結一起，並寫出了《流數簡述》，這標誌着微積分的誕生。接着，牛頓研究變量流動生成法，認爲變量是由點、線或面的連續運動產生的，因此，他把變量叫作流量，把變量的變化率叫做流數。在牛頓創立微積分後期，否定了以前自己認爲的變量是無窮小元素的靜止集合，不再強調數學量是由不可分割的最小單元構成，而認爲它是由幾何元素經過連續運動生成的，不再認爲流數是兩個實無限小量的比，而是初生量的最初比或消失量的最後比，這就從原先的實無限小量觀點進到量的無限分割過程即潛無限觀點上去。
同一時期，德國數學家萊布尼茨也獨立創立了微積分學，他於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫，符號的發明使得微積分的表達更加簡便。此外他還發現了求高級導數的萊布尼茨公式，還有牛頓萊布尼茨公式，將微分與積分運算聯繫在一起，他在微積分方面的貢獻與牛頓旗鼓相當。
牛頓與萊布尼茨對於微積分學的創立起了舉足輕重的作用，我們無須去爭辯誰是真正的微積分創始人，在數學領域來說，這真的是一件極其無聊的事情，因爲每一次的數學發現都是全人類共同的財富，真正的數學家也絕不會有心思去談論這種問題單的！
成熟完善時期：
1.第二次數學危機的開始：
微積分學在牛頓與萊布尼茨的時代逐漸建立成型，但是任何新的數學理論的建立，在起初都是會引起一部分人的極力質疑，微積分學同樣也是。由於早期微積分學的建立的不嚴謹性，許多不安分子就找漏洞攻擊微積分學，其中最著名的是英國主教貝克萊針對求導過程中的無窮小（Δx既是0，又不是0）展開對微積分學的進攻，由此第二次數學危機便拉開了序幕。
2.第二次數學危機的解決：
危機出現之後，許多數學家意識到了微積分學的理論嚴謹性，陸續的出現大批傑出的科學家。在危機前期，捷克數學家布爾查諾對於函數性質作了細緻研究，首次給出了連續性和導數的恰當的定義，對序列和級數的收斂性提出了正確的概念，並且提出了著名的布爾查諾——柯西收斂原理（整序變量Χn有有限極限的充要條件是：對於每一個ε＞0總存在着序號N，使當n＞N及n＇＞N時，便能成立不等式∣Χn－Χn＇∣﹤ε）。
之後的大數學家柯西建立了接近現代形式的極限，把無窮小定義爲趨近於0的變量，從而結束了百年的爭論，並定義了函數的連續性、導數、連續函數的積分和級數的收斂性（與布爾查諾同期進行），柯西在微積分學（數學分析）的貢獻是巨大的：柯西中值定理、柯西不等式、柯西收斂準則、柯西公式、柯西積分判別法等等，其一生髮表的論文總數僅次於歐拉。另外阿貝爾（其最大貢獻是首先想到倒過來思想，開拓了橢圓積分的廣闊天地）指出要嚴格限制濫用級數展開及求和，狄利克雷給出了函數的現代定義。
在危機後期，數學家魏爾斯特拉斯提出了病態函數（處處連續但處處不可微的函數），後續又有人發現了處處不連續但處處可積的函數，使人們重新認識了連續與可微可積的關係，他在連續閉區間內提出了第一、第二定理，並引進了極限的ε～δ定義，基本上實現了分析的算術化，使分析從幾何直觀的極限中得到了“解放”，從而驅散了17——18世紀籠罩在微積分外面的神祕雲霧。繼而在此基礎上，黎曼與1854年和達佈於1875年對有界函數建立了嚴密的積分理論，19世紀後半葉，戴金德等人嚴格的實數理論。
至此，數學分析（包含整個微積分學）的理論和方法完全建立在牢固的基礎上，基本上形成了一個完整的體系，也爲20世紀的現代分析鋪平了道路。
未完待續。
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