Normalized cuts and image segmentation

CMU的一篇文章，發表在PAMI上的，文章雖然是對圖像進行處理，但是在其他地方都有廣泛的應用。

idea:如何分組，先看一個簡單的問題

一個簡單的想法，是按照graph theory裏面的min-cut想法，每個元素都是一個點，點點之間的關係用weight表示，分成一個個組之間的weight權值最小，也就是一個min-cut。但是這樣的產生的問題如上圖，分離出一個點顯然是一個min-cut（這裏用的weight是歐氏距離的倒數，所以分割的是n1，n2兩個點），而實際想分成的組是左右兩大部分。

問題產生的原因是這裏的權值只是一個local的權值，並沒有考慮到整體的效應。本文提出了一個考慮全局的方法。

這樣選擇的cut是佔這個組的比重。

下面是如何解決這個問題。用向量x表示所有的點屬於A還是B.屬於A，1，否則是-1.


1+x可以得到屬於A的部分，1-x得到B的部分。d表示每個點與其他所有點的權值之和，D是這樣的一個對角陣。W是權值矩陣。k是A中所有點d之和佔全部點的比重。

代入一下，進一步化簡




去掉後一個常數

代入b=k/(1-k)

代入y=(1+x)-b(1-x),可得

最後得到的這樣一個方程是Rayleigh Quotient,最小值就是下面方程的最小特徵根。

（D-W)y=Dy.