學習筆記第一週
數據的描述性統計0715-0721
目錄
一、數據的集中趨勢
1.衆數：
一組數據中，出現次數最多的那個數，用大寫字母 M 表示。 一組數據可以有多個衆數，也可以沒有衆數。 用衆數代表一組數據，可靠性較差，不過衆數不受極端數據的影響，並且求法簡便。在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，選擇中位數表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合。 衆數的三種求解方法： 觀察法：直接找出次數最多的那組數 ；金氏插入發法；皮爾遜經驗法
2.中位數：
按順序排序，處於中間位置的數。一組數據中，從小到大排序，或者從大到小排序，正中間那個數就是中位 數。如果是這組數據是奇數個數，則爲中間那個數，如果是偶數個數，則爲中間那兩個數的平均數。 在概率密度函數中，中位數就是把整個圖分成兩邊面積相等的地方。
3.平均數：
一般指的是 算術平均數。表示一組數據集中趨勢的量數，是指在一組數據中所有數據之和再除以 這組數據的個數。易受到極端數據的影響。
算數平均數： 
幾何平均數 ：
加權平均數：
4.分位數：
亦稱分位點，是指將一個隨機變量的概率分佈範圍分爲幾個等份的數值點，常用的有中位數（即二分位數）、四分位數、百分位數等。 四分位數是統計學中分位數的一種，即把所有數值由小到大 排列並分成四等份，處於三個分割點位置的數值就是四分位數。 1.第一四分位數(Q1)，又稱“較小四分位數”，等於該樣本中所有數值 由小到大排列後第 25%的數字； 2.第二四分位數(Q2)，又稱“中位數”，等於該樣本中所有數值由小到 大排列後第 50%的數字； 3.第三四分位數(Q3)，又稱“較大四分位數”，等於該樣本中所有數值 由小到大排列後第 75%的數字。 第三四分位數與第一四分位數的差距又稱四分位距。 百分位數：統計學術語。如果將一組數據從小到大排序，並計算相應的累計百分位，則某一百分位所對應數據的值就稱爲這一百分位的百分位數。
5.極差：
最大值與最小值之間的差距。又稱範圍誤差或全距(Range)，以R表示，是用來表示統計資料中的變異量數(measures of variation)，其最大值與最小值之間的差距，即最大值減最小值後所得之數據。極差=最大值 - 最小值 即：R=xmax-xmin
二、數據的離中趨勢
1.數值型數據
方差：度量隨機變量和其數學期望（即均值）之間的偏離程度。
標準差：所有數減去其平均值的平方和，所得結果除以該組數之個數（或個數減一，即變異數），再把所得值開根號，所得之數就是這組數據的標準差。
極差：最大值與最小值之間的差距。
平均差：各個變量值同平均數的離差絕對值的算術平均數。
2.順序數據
四分位差：上四分位數（Q3，即位於75%）與下四分位數（Q1，即位於25%）的差。Q = Q3 - Q1
3.分類數據
異衆比率：是離中趨勢的指標之一。異衆比率指的是總體中非衆數次數與總體全部次數之比。換句話說，異衆比率指非衆數組的頻數佔總頻數的比例。
三、相對離散程度
離散係數
又稱變異係數，簡單的理解就是用來衡量數據的離散程度。離散係數大，說明數據的離散程度也大；離散係數小，說明數據的離散程度也小。當進行兩個或多個資料離散程度的比較時，如果度量單位與平均數相同，可以直接利用標準差來比較。如果單位和（或）平均數不同時，比較其離散程度就不能採用標準差，而需採用標準差與平均數的比值（相對值）來比較。
離散係數=標準差/平均數
四、分佈的形狀
1.偏態係數
以平均值與中位數之差對標準差之比率來衡量偏斜的程度，用 SK 表示偏斜係數：偏態係數小於 0，因爲平均數在衆數之左，是一種左偏的分佈，又稱爲負偏。偏態係數大於 0，因爲均值在衆數之右，是一種右偏的分佈，又稱爲正偏。偏態係數是根據衆數、中位數與均值各自的性質，通過比較衆數或中位數與均值來衡量偏斜度的，即偏態係數是對分佈偏斜方向和程度的刻畫。衆數、中位數、平均數三個數的差距越大，那麼偏態係數就越大。那我們在做挖掘的時候，發現這三個數差的很遠，就應該知道數據的偏態係數特別大。
2.峯態係數
峯度（peakedness;kurtosis）又稱峯態係數。簡單來講，它就是對數據分佈平峯或尖峯程度的測度。測度峯態的統計量則是峯態係數。
1、峯態係數就是概率分佈函數中，與衆數概率的高低有直接關係，衆數概率越高，峯態係數越大。
2、正態分佈的峯態係數是 3，常常計算出來的峯態係數會跟 3 作比較，如果小於 3 則具有不足的峯度，如果大於 3 則具有過度的峯度。反正理解爲大於 3 比正態分佈的更尖。
3、在相同的標準差下，峯度係數越大，分佈就有更多的極端值。
結語：感謝木東居士提供此次學習的平臺。讓我們有此次共同學習討論的機會。 wx公衆號：木東居士
2019/07/21