思考：
設計一個公平的洗牌算法
1.
看問題，洗牌，顯然是一個隨機算法了。隨機算法還不簡單？隨機唄。把所有牌放到一個數組中，每次取兩張牌交換位置，隨機 k 次即可。如果你的答案是這樣，通常面試官會進一步問一下，k 應該取多少？100？1000？10000？很顯然，取一個固定的值不合理。如果數組中有 1000000 個元素，隨機 100 次太少；如果數組中只有 10 個元素，隨機 10000 次又太多。一個合理的選擇是，隨機次數和數組中元素大小相關。比如數組有多少個元素，我們就隨機多少次。這個答案已經好很多了。但其實，連這個問題的本質都沒有觸及到。此時，面試官一定會狡黠地一笑：這個算法公平嗎？
2、
我們再看問題：設計一個公平的洗牌算法。
問題來了，對於一個洗牌算法來說，什麼叫“公平”？這其實是這個問題的實質，我們必須定義清楚：什麼叫公平。
一旦你開始思考這個問題，才觸及到了這個問題的核心。在我看來，不管你能不能最終給出正確的算法，如果你的思路是在思考對於洗牌算法來說，什麼是“公平”，我都覺得很優秀。因爲背出一個算法是簡單的，但是這種探求問題本源的思考角度，絕不是一日之功。別人告訴你再多次“要定義清楚問題的實質”都沒用。這是一種不斷面對問題，不斷解決問題，逐漸磨鍊出來的能力，短時間內無法培訓。這也是我經常說的，面試不是標準化考試，不一定要求你給出正確答案。面試的關鍵，是看每個人思考問題的能力。說回我們的洗牌算法，什麼叫公平呢？一旦你開始思考這個問題，其實答案不難想到。洗牌的結果是所有元素的一個排列。一副牌如果有 n 個元素，最終排列的可能性一共有 n! 個。公平的洗牌算法，應該能等概率地給出這 n! 個結果中的任意一個。如思考到這一點，我們就能設計出一個簡單的暴力算法了：對於 n 個元素，生成所有的 n! 個排列，然後，隨機抽一個。這個算法絕對是公平的。但問題是，複雜度太高。複雜度是多少呢？O(n!)。因爲，n 個元素一共有 n! 種排列，我們求出所有 n! 種排列，至少需要 n! 的時間。有一些同學對 O(n!) 沒有概念。我本科時就鬧過笑話，正兒八經地表示 O(n!) 並不是什麼大不了不起的複雜度。實際上，這是一個比指數級 O(2^n) 更高的複雜度。因爲 2^n 是 n 個 2 相乘；而 n! 也是 n 個數字相乘，但除了 1，其他所有數字都是大於等於 2 的。當 n>=4 開始，n! 以極快的的速度超越 2^n。O(2^n) 已經被稱爲指數爆炸了。O(n!) 不可想象。所以，這個算法確實是公平的，但是，時間不可容忍。
3.
我們再換一個角度思考“公平”這個話題。其實，我們也可以認爲，公平是指，對於生成的排列，每一個元素都能等概率地出現在每一個位置。或者反過來，每一個位置都能等概率地放置每個元素。這個定義和上面的最終洗牌結果，可以等概率地給出這 n! 個排列中的任意一個，是等價的。這個等價性，可以證明出來。並不難。如果正在學習概率論的同學，還比較習慣概率論處理問題的思想，應該能很快搞定：）
基於這個定義，我們就可以給出一個簡單的算法了。說這個算法簡單，是因爲他的邏輯太容易了，就一個循環：
這麼簡單的一個算法，可以保證上面我所說的，對於生成的排列，每一個元素都能等概率的出現在每一個位置。或者反過來，每一個位置都能等概率的放置每個元素。大家可以先簡單的理解一下這個循環在做什麼。其實非常簡單，i 從後向前，每次隨機一個 [0...i] 之間的下標，然後將 arr[i] 和這個隨機的下標元素，也就是 arr[rand() % (i + 1)] 交換位置。大家注意，由於每次是隨機一個 [0...i] 之間的下標，所以，我們的計算方式是 rand() % (i + 1)，要對 i + 1 取餘，保證隨機的索引在 [0...i] 之間。
這個算法就是大名鼎鼎的 Knuth-Shuffle，即 Knuth 洗牌算法。
這個算法的原理，我們稍後再講。先來看看 Knuth 何許人也？
中文名：高納德。算法理論的創始人。我們現在所使用的各種算法複雜度分析的符號，就是他發明的。上世紀 60-70 年代計算機算法的黃金時期，近乎就是他一手主導的。他的成就實在太多，有時間單獨發文介紹，但是，我覺得一篇文章是不夠的，一本書還差不多。大家最津津樂道的，就是他所寫的《The Art of Computer Programming》，簡稱 TAOCP。這套書準備寫七卷本，然後，到今天還沒有寫完，但已經被《科學美國人》評爲可以媲美相對論的鉅著。微軟是 IT 界老大的年代，比爾蓋茨直接說，如果你看完了這套書的第一卷本，請直接給我發簡歷。至於這套書爲什麼寫的這麼慢？因爲老爺子寫到一半，覺得當下的文字排版工具都太爛，於是轉而發明出了現在流行的LaTex文字排版系統...另外，老爺子可能覺得當下的編程語言都不能完美地表現自己的邏輯思想，還發明了一套抽象的邏輯語言，用於這套書中的邏輯表示...
4.
是時候仔細的看一下，這個簡單的算法，爲什麼能做到保證：對於生成的排列，每一個元素都能等概率的出現在每一個位置了。
在這裏，我們模擬一下算法的執行過程，同時，對於每一步，計算一下概率值。
我們簡單的只是用 5 個數字進行模擬。假設初始的時候，是按照 1，2，3，4，5 進行排列的。
那麼，根據這個算法，首先會在這五個元素中選一個元素，和最後一個元素 5 交換位置。假設隨機出了 2
下面，我們計算 2 出現在最後一個位置的概率是多少？非常簡單，因爲是從 5 個元素中選的嘛，就是 1/5。實際上，根據這一步，任意一個元素出現在最後一個位置的概率，都是 1/5。
下面，根據這個算法，我們就已經不用管 2 了，而是在前面 4 個元素中，隨機一個元素，放在倒數第二的位置。假設我們隨機的是 3。3 和現在倒數第二個位置的元素 4 交換位置。
下面的計算非常重要。3 出現在這個位置的概率是多少？計算方式是這樣的：
其實很簡單，因爲 3 逃出了第一輪的篩選，概率是 4/5，但是 3 沒有逃過這一輪的選擇。在這一輪，一共有4個元素，所以 3 被選中的概率是 1/4。因此，最終，3 出現在這個倒數第二的位置，概率是 4/5 * 1/4 = 1/5。還是 1/5 !
實際上，用這個方法計算，任意一個元素出現在這個倒數第二位置的概率，都是 1/5。
相信聰明的同學已經瞭解了。我們再進行下一步，在剩下的三個元素中隨機一個元素，放在中間的位置。假設我們隨機的是 1。
關鍵是：1 出現在這個位置的概率是多少？計算方式是這樣的：
即 1 首先在第一輪沒被選中，概率是 4/5，在第二輪又沒被選中，概率是 3/4 ，但是在第三輪被選中了，概率是 1/3。乘在一起，4/5 * 3/4 * 1/3 = 1/5。
用這個方法計算，任意一個元素出現在中間位置的概率，都是 1/5。
這個過程繼續，現在，我們只剩下兩個元素了，在剩下的兩個元素中，隨機選一個，比如是4。將4放到第二個位置。
然後，4 出現在這個位置的概率是多少？4 首先在第一輪沒被選中，概率是 4/5；在第二輪又沒被選中，概率是 3/4；第三輪還沒選中，概率是 2/3，但是在第四輪被選中了，概率是 1/2。乘在一起，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。
用這個方法計算，任意一個元素出現在第二個位置的概率，都是 1/5。
最後，就剩下元素5了。它只能在第一個位置待著了。
那麼 5 留在第一個位置的概率是多少？即在前 4 輪，5 都沒有選中的概率是多少？
在第一輪沒被選中，概率是 4/5；在第二輪又沒被選中，概率是 3/4；第三輪還沒選中，概率是 2/3，在第四輪依然沒有被選中，概率是 1/2。乘在一起，4/5 * 3/4 * 2/3 * 1/2 = 1/5。
你看，在整個過程中，每一個元素出現在每一個位置的概率，都是 1/5 ！
所以，這個算法是公平的。
當然了，上面只是舉例子。這個證明可以很容易地拓展到數組元素個數爲 n 的任意數組。整個算法的複雜度是 O(n) 的。
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