TATT（K-D Tree + 四維偏序）

TATT

題意：

求最長的非遞減的四維偏序長度。

思路：

1. 先將序列任選一個維度進行排序，然後依次將這些點插入到K-D Tree中。
2. 每插入一個點之前，計算以當前點結尾的最長偏序長度（剩下的是三維偏序問題），然後再將當前點插入即可。
3. 當然，K-D Tree重點還是在剪枝上。此處考慮兩種剪枝即可：
   1. 如果當前子空間某一個維度的最下值都大於詢問點的這一維度，則剪枝；
   2. 如果當前子空間最長偏序長度小於當前答案值，則剪枝（詢問時優先處理可能的長度較長的子空間）。

代碼

#include "bits/stdc++.h"
#define hhh printf("hhh\n")
#define see(x) (cerr<<(#x)<<'='<<(x)<<endl)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pr;
inline int read() {int x=0,f=1;char c=getchar();while(c!='-'&&(c<'0'||c>'9'))c=getchar();if(c=='-')f=-1,c=getchar();while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+c-'0',c=getchar();return f*x;}

const int maxn = 5e4+10;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9+7;
const double eps = 1e-7;

int n, Dim, tot, rt, top;
int ls[maxn], rs[maxn], sz[maxn], mi[maxn][3], mx[maxn], rub[maxn];

struct P{
    int x[4], f;
    friend bool operator < (const P &a, const P &b) {
        for(int i=3; i>=0; --i) {
            if(a.x[i]<b.x[i]) return 1;
            if(a.x[i]>b.x[i]) return 0;
        }
        return 0;
    }
}p0[maxn], p[maxn], tmp[maxn];

bool cmp(const P &a, const P &b) {
    return a.x[Dim]<b.x[Dim];
}

inline void Max(int &x, int y) { if(x<y) x=y; }
inline void Min(int &x, int y) { if(x>y) x=y; }

inline int new_node() {
    if(top) return rub[top--];
    return ++tot;
}

void push_up(int now) {
    for(int i=0; i<3; ++i) {
        mi[now][i]=p[now].x[i];
        if(ls[now]) Min(mi[now][i],mi[ls[now]][i]);
        if(rs[now]) Min(mi[now][i],mi[rs[now]][i]);
    }
    mx[now]=p[now].f;
    if(ls[now]) Max(mx[now],mx[ls[now]]);
    if(rs[now]) Max(mx[now],mx[rs[now]]);
    sz[now]=sz[ls[now]]+sz[rs[now]]+1;
}

void to_array(int idx, int now) {
    if(ls[now]) to_array(idx,ls[now]);
    tmp[idx+sz[ls[now]]]=p[now]; rub[++top]=now;
    if(rs[now]) to_array(idx+sz[ls[now]]+1,rs[now]);
}

void rebuild(int l, int r, int dim, int &now) {
    if(l>r) { now=0; return; }
    now=new_node();
    int m=(l+r)/2;
    Dim=dim; nth_element(tmp+l,tmp+m,tmp+r+1,cmp); p[now]=tmp[m];
    rebuild(l,m-1,(dim+1)%3,ls[now]);
    rebuild(m+1,r,(dim+1)%3,rs[now]);
    push_up(now);
}

void check(int dim, int &now) {
    if(sz[ls[now]]*4>sz[now]*3||sz[rs[now]]*4>sz[now]*3) {
        to_array(1,now); rebuild(1,sz[now],dim,now);
    }
}

void insert(int I, int dim, int &now) {
    if(!now) {
        now=new_node(); p[now]=p0[I]; ls[now]=rs[now]=0;
        push_up(now);
        return;
    }
    if(p0[I].x[dim]<=p[now].x[dim]) insert(I,(dim+1)%3,ls[now]);
    else insert(I,(dim+1)%3,rs[now]);
    push_up(now); check(dim,now);
}

void query(int I, int now) {
    if(!now) return;
    int c=0, &f=p0[I].f;
    for(int i=0; i<3; ++i) if(p[now].x[i]<=p0[I].x[i]) c++;
    if(c==3) Max(f,p[now].f);
    int l=ls[now], r=rs[now];
    if(mx[l]<mx[r]) swap(l,r);
    int dl=0, dr=0;
    for(int i=0; i<3; ++i) {
        if(mi[l][i]>p0[I].x[i]) dl++;
        if(mi[r][i]>p0[I].x[i]) dr++;
    }
    if(!dl&&mx[l]>f) query(I,l);
    if(!dr&&mx[r]>f) query(I,r);
}

int main() {
    n=read();
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        scanf("%d%d%d%d", &p0[i].x[0], &p0[i].x[1], &p0[i].x[2], &p0[i].x[3]);
    sort(p0+1,p0+1+n);
    int ans=0;
    for(int i=1; i<=n; ++i) {
        query(i,rt); p0[i].f++;
        insert(i,0,rt);
        Max(ans,p0[i].f);
    }
    printf("%d\n", ans);
}