小世界網絡的集體動力學
watts and strogatz
網絡耦合動態系統已經被應用在了對生物振盪器的建模上，約瑟夫遜結，激動的媒體，神經網絡，空間遊戲，基因空網絡和許多其他的自組織系統。一般來說，連接拓撲被假定爲既不是完全的規則圖形也不是完全的隨機圖形。許多生物的、技術的或者社會的網絡介於完全規則和完全隨機兩個極端的中間。在這裏，我們探索可以在中間調節的網絡的簡單模型：規則網絡重新編織以帶來更多的無序。我們發現這些系統能被高度的聚合，象規則點陣，而且也有比較小的特徵路徑長度，象隨機圖形。我們把它叫做小世界網絡，與小世界現象類似（大家都知道的6度分離（每個人與其他人最多隻隔着6個人））。秀麗隱杆線蟲的神經網絡，美國西部的力量網格，影星的合作圖形被證明是小世界網絡。小世界耦合的動態系統模型展示了加強的信號傳播速度，計算能力和同步性。特別的，傳染性病毒在小世界裏比在規則點陣裏更容易傳播。
爲了插入到規則和隨機網絡之間，我們考慮了下面的隨機重編織過程。從一個n節點k邊的環點陣開始，我們重編織每個邊，設定每個邊出現的概率爲p。通過這個構建過程，我們能將圖形在規則（p=0）和無序（p=1）之間調節，然後再0<p<1的中間區域進行探測，關於這個區域我們基本上什麼都不知道。
我們量化了這些圖形的結構屬性，有特徵路徑長度L(p)、聚合協同係數C(p)，在圖二中。L(p)是兩個點的 分離值（全局屬性），C(p)來測量鄰居間的聚合指數、小集團值，是一個局部屬性。網絡的興趣，對我們而言，在於它有大量的節點時稀疏連接的，但是又不至於變成無連接的。具體說來，我們要確保n>>k>>ln(n)>>1，k>>ln(n)確保一個連接着的隨機圖形。在這樣的家丁下，我們發現L~n/(2k)>>1
and C~3/4 當p---〉0時，當p---〉1時，L~~L(random)~ln(n)/ln(k) and C~~C(random)~k/n<<1。這樣，在p=0的規則點陣是高度集團化的、大世界，這是L隨着n線性增長，p=1時的隨機圖形是低集團化值，小世界，L隨着n的對數增長。這個限定的cases讓人去猜想高度集團化一般與大的特徵路徑長度對應，而低度集團化則與小的特徵路徑長度對應
相反，圖形而顯示了，有一片很大的p值的區間，在這個區間裏L(p)~Lrandom 但是 C(p)>>crandom。這些小世界網絡是通過規則圖的一些遠程邊的引入而帶來的L(p)的快速見效。這些長邊連接了一些起初距離比Lrandom的距離大很多的點。對於小p，每一個長邊對於L都有一個高的非線性的影響，收縮了不僅是它連着的兩個點的距離，而且還有他們鄰居的距離等。相比之下，從聚合的鄰居中刪除一條邊來減少C，只有一個線性的效果；所以對小p來說，當L(p)快速減小的時候C(p)基本上改變很小。重要的牽連是，在局部級別上，對一個小世界的改變是很難檢測到的。爲了測試這些結果的健壯性，我們測試許多種不同類型的規則圖形，還有許多不同的隨機重編織算法，所有的都得到了基本上相似的結果。唯一的假定就是重編織的邊需要連接起初距離比Lrandom大很多的點。
上面的理想化的構建顯示了長邊減小距離的的關鍵角色。顯示了小世界現象會在有許多點的稀疏網絡很普遍，即使小量的橋接也會起作用。爲了測試這個觀點，我們計算了L和C，在類型電影的演員合作圖、西部美國的電力圖、線蟲的神經網絡圖中。三個圖形都具有科學興趣。電影演員的圖形是一個社會網絡的代表，又很容易細化的優點。與數學合作集中圖類似（http://
www.acs.oakland.edu/,grossman/erdoshp.html).。電力圖與力量圖的有效性和相關性是相關的。線蟲圖是一個完整映射的神經網絡的例子
表格1表明3個圖都是小世界網絡。這些圖不是精心選的；因爲他們內在的興趣和完整的編織圖的可能存在他們才被選中。小世界現象既不是社會網絡的古董也不是理想模型的加工品，他可能和許多已經發現的、大的、離散網絡是本質上是相同的。
圖1：在一個規則環和一個隨機網絡之間插入邊的隨機重編織過程，並不改變圖形的節點數目或者邊數據。初始化一個n歌節點的環，每一個點與周圍的k個最近的點有邊相連。（爲了明確性，在整個圖解例子中，n=20，k=4，在接下去中會用更大的n和k）。選擇一個點和那個連接他與順時針理他最近的鄰點的邊。在概率p的情況下，從整個環中隨機取一個點，將這條邊重新連接到這個點上，如果生成的邊之前已經存在，那麼就保持原來的邊不遍。按順時針對整個圈重複這個操作。下面，我們考慮連接他與她的順時針鄰居的邊。以前的時候，我們以概率p來重新編織這些邊，並且繼續這個過程，圍繞着環循環，在每一圈後編織出更遠距離的鄰居，直到原來點陣的每一條邊都被重新編織過。（整個圖有n*k/2個，那麼需要k/2圈來進行這個過程）這個程序對於不同的概率p實現的結果在圖中表示出來了。p=0，原來的環沒有改變，隨着p的增加，圖形變得越來越沒有順序，直到p=1，所有的邊都被隨機的重新編織。得出的一個結論是：這個圖形在概率p在0和1之間的時候是小世界網絡：象規則圖形一樣是高聚合值，而且象隨機圖形一樣是有效的特徵路徑長度。
圖2：圖1中的隨機重新編織的圖形的特徵路徑長度L(p) 和聚合係數（小集團係數）C(p)。這裏，L是兩點之間的最短路徑，所有成對節點最短路徑的平均值。（論文中沒有的：然後在除以規則圖形的L ）聚合係數C：假設一個v有Kv個鄰居，那麼鄰居之間最多有Kv(Kv - 1)/2條邊。Cv就是這些邊種實際存在的邊的條數。將C定義爲所有v的Cv的平均值。對於朋友網絡，這些統計參數有直觀意義：L是連接兩個人的平均朋友的個數；Cv反映了V的所有朋友也是朋友關係的程度。圖中的數據是圖1種的重編織過程的20個隨機實現，然後用規則圖形的L(0)和C(0)來除。所有的圖形n=1000，k=10.在小世界現象的開始，我們用對數尺度來表示L(p)的迅速降落。在L的降落中，C幾乎和規則圖形中的值保持一樣，表明在小世界的轉變在局部區域幾乎是不可探測的。
表1：小世界網絡的經驗分佈例子
三個現實網絡的L和C，與擁有相同n和k的隨機圖形的比較。（actors：n=225，226，k=61.電力網：n=4，941，k=2，67.線蟲：n=282，k=14）圖形定義如下。兩個演員如果他們在同一部電影中出演，那麼他們用一條邊相連。我們將注意轉到這個圖的連接元素，它包含了因特網電影數據庫（imdb）1997年所列演員的90%。對於電力網，點表示了發電站、變壓器、變電站，便表示了他們之間的高壓傳輸線。對於線蟲，邊用來連接兩個神經元，不管他們之間是突觸還是空白連接。我們把所有的邊認爲是無方向和無權中的，並且所有的點是不同的，這是粗略的近似。所有的網絡都表明了小世界現象：L>=Lrandom
但是 C>>Crandom
現在我們研究小世界的連接型對動態系統功能上有什麼意義。我們的測試例子是一個傳染性病毒傳播的謹慎簡化了的模型。人口結構是通過fig1描述的一組圖形來建模的。在時間t=0，一個感染了人進入了一個別人全健康的人口羣體。在一個單位的時間後，感染個體被永久刪除了。在這段時間裏，每一個感染的個體都以概率r感染他周圍健康的鄰居。在隨後的時間裏，病毒沿着圖形的邊傳播直到她要麼傳染整個人羣要麼死，在整個過程中她已經傳染了人羣的一些片段。
兩種情況出現了。第一，重要的感染值Rhalf，病毒感染了一半人口，傳染力r（猜測爲傳染一半人的時間），在這個值時傳染了一半的人，隨着概率p的增大迅速減小，如圖3a。第二，對於那種不管什麼人口網絡結構都能傳染整個人羣的疾病，傳染整個人羣所用的時間T(p)和L(p)的曲線很相似，如圖3b。所以，傳染疾病在小世界關係的人羣裏被預測爲很容易、迅速傳播；需要警惕而且不被注意的點是變成小世界網絡只需要很少的short-cuts。
我們的模型在很多重要的地方跟其他疾病傳播的網絡模型不同。所有的預測網絡結構影響疾病傳播的速度和程度，而我們的模型將動力學作爲一個結構的函數，而不是一些象隨機圖形、星形、鍊形等一些特別的拓撲圖形。與我們工作最接近的，Kretschmar
and Morris 24已經證明併發性伴侶的數量增加會非常明顯的加速性病的傳播，傳播時沿着圖形的邊。他們的圖形是沒有鏈接的是因爲他們固定了性伴侶的數目，k=1.併發性伴侶的增加引起了圖形中最大聯通圖的點的數量的增加，從而快速傳播。相反的，我們的圖形是聯通的；所以傳播動力學裏預測的改變更多的是因爲微妙的結構特性而不是接連的改變。此外，性伴侶數量的改變對於個體是非常明顯的，但是對於因此而帶來的小世界的變小對個體卻沒那麼明顯。
我們已經確認了小世界連結性在三個別的動力系統的效果。在每一個案例裏，每個元素通過圖1種的圖形族來耦合相似。1）對於密集分類計算任務的細胞自動機，我們發現在小世界圖形上的簡單的“多數”原則勝過所有人類的、運行在環上生成的基因算法生成的規則。2）對於迭代，多玩遊戲，在圖上的囚徒困境，我們發現隨着short cuts的增加，在一羣以以牙還牙爲策略的人中合作是越來越困難。3）小世界網絡耦合的相位震盪與平均場模型同步，儘管他有小級別的邊數量。這個結果可能和觀察到的廣泛分割的視皮質的神經元的同步有關，大腦有一個小世界架構，似是而非的樣子。
我們希望我們的工作能激發對小世界網絡更深的研究。他的獨一無二的高居合、低特徵路徑長度，在以往的以規則點陣和隨機圖形爲基礎的研究中是無法找到的。儘管小世界架構還沒有引起很多注意，但是我們認爲它會在生物、社會、人造系統中有廣泛的、重要的存在着。
圖3 疾病傳播簡單模型的模擬結果。社區結構是在圖1種的一個隨機重編織圖形族的一個實現。a，關鍵的傳染性r，疾病傳染了一半的人羣，隨着p減小。b，T(p)時間，非常具有傳染性的疾病傳染整個人羣的時間與L(p)的曲線很相似。即使原圖形中很少比例的邊被隨機的重編織了，全部傳染的時間也與一個隨機圖形的時間一樣少。