小世界网络的集体动力学
watts and strogatz
网络耦合动态系统已经被应用在了对生物振荡器的建模上，约瑟夫逊结，激动的媒体，神经网络，空间游戏，基因空网络和许多其他的自组织系统。一般来说，连接拓扑被假定为既不是完全的规则图形也不是完全的随机图形。许多生物的、技术的或者社会的网络介于完全规则和完全随机两个极端的中间。在这里，我们探索可以在中间调节的网络的简单模型：规则网络重新编织以带来更多的无序。我们发现这些系统能被高度的聚合，象规则点阵，而且也有比较小的特征路径长度，象随机图形。我们把它叫做小世界网络，与小世界现象类似（大家都知道的6度分离（每个人与其他人最多只隔着6个人））。秀丽隐杆线虫的神经网络，美国西部的力量网格，影星的合作图形被证明是小世界网络。小世界耦合的动态系统模型展示了加强的信号传播速度，计算能力和同步性。特别的，传染性病毒在小世界里比在规则点阵里更容易传播。
为了插入到规则和随机网络之间，我们考虑了下面的随机重编织过程。从一个n节点k边的环点阵开始，我们重编织每个边，设定每个边出现的概率为p。通过这个构建过程，我们能将图形在规则（p=0）和无序（p=1）之间调节，然后再0<p<1的中间区域进行探测，关于这个区域我们基本上什么都不知道。
我们量化了这些图形的结构属性，有特征路径长度L(p)、聚合协同系数C(p)，在图二中。L(p)是两个点的 分离值（全局属性），C(p)来测量邻居间的聚合指数、小集团值，是一个局部属性。网络的兴趣，对我们而言，在于它有大量的节点时稀疏连接的，但是又不至于变成无连接的。具体说来，我们要确保n>>k>>ln(n)>>1，k>>ln(n)确保一个连接着的随机图形。在这样的家丁下，我们发现L~n/(2k)>>1
and C~3/4 当p---〉0时，当p---〉1时，L~~L(random)~ln(n)/ln(k) and C~~C(random)~k/n<<1。这样，在p=0的规则点阵是高度集团化的、大世界，这是L随着n线性增长，p=1时的随机图形是低集团化值，小世界，L随着n的对数增长。这个限定的cases让人去猜想高度集团化一般与大的特征路径长度对应，而低度集团化则与小的特征路径长度对应
相反，图形而显示了，有一片很大的p值的区间，在这个区间里L(p)~Lrandom 但是 C(p)>>crandom。这些小世界网络是通过规则图的一些远程边的引入而带来的L(p)的快速见效。这些长边连接了一些起初距离比Lrandom的距离大很多的点。对于小p，每一个长边对于L都有一个高的非线性的影响，收缩了不仅是它连着的两个点的距离，而且还有他们邻居的距离等。相比之下，从聚合的邻居中删除一条边来减少C，只有一个线性的效果；所以对小p来说，当L(p)快速减小的时候C(p)基本上改变很小。重要的牵连是，在局部级别上，对一个小世界的改变是很难检测到的。为了测试这些结果的健壮性，我们测试许多种不同类型的规则图形，还有许多不同的随机重编织算法，所有的都得到了基本上相似的结果。唯一的假定就是重编织的边需要连接起初距离比Lrandom大很多的点。
上面的理想化的构建显示了长边减小距离的的关键角色。显示了小世界现象会在有许多点的稀疏网络很普遍，即使小量的桥接也会起作用。为了测试这个观点，我们计算了L和C，在类型电影的演员合作图、西部美国的电力图、线虫的神经网络图中。三个图形都具有科学兴趣。电影演员的图形是一个社会网络的代表，又很容易细化的优点。与数学合作集中图类似（http://
www.acs.oakland.edu/,grossman/erdoshp.html).。电力图与力量图的有效性和相关性是相关的。线虫图是一个完整映射的神经网络的例子
表格1表明3个图都是小世界网络。这些图不是精心选的；因为他们内在的兴趣和完整的编织图的可能存在他们才被选中。小世界现象既不是社会网络的古董也不是理想模型的加工品，他可能和许多已经发现的、大的、离散网络是本质上是相同的。
图1：在一个规则环和一个随机网络之间插入边的随机重编织过程，并不改变图形的节点数目或者边数据。初始化一个n歌节点的环，每一个点与周围的k个最近的点有边相连。（为了明确性，在整个图解例子中，n=20，k=4，在接下去中会用更大的n和k）。选择一个点和那个连接他与顺时针理他最近的邻点的边。在概率p的情况下，从整个环中随机取一个点，将这条边重新连接到这个点上，如果生成的边之前已经存在，那么就保持原来的边不遍。按顺时针对整个圈重复这个操作。下面，我们考虑连接他与她的顺时针邻居的边。以前的时候，我们以概率p来重新编织这些边，并且继续这个过程，围绕着环循环，在每一圈后编织出更远距离的邻居，直到原来点阵的每一条边都被重新编织过。（整个图有n*k/2个，那么需要k/2圈来进行这个过程）这个程序对于不同的概率p实现的结果在图中表示出来了。p=0，原来的环没有改变，随着p的增加，图形变得越来越没有顺序，直到p=1，所有的边都被随机的重新编织。得出的一个结论是：这个图形在概率p在0和1之间的时候是小世界网络：象规则图形一样是高聚合值，而且象随机图形一样是有效的特征路径长度。
图2：图1中的随机重新编织的图形的特征路径长度L(p) 和聚合系数（小集团系数）C(p)。这里，L是两点之间的最短路径，所有成对节点最短路径的平均值。（论文中没有的：然后在除以规则图形的L ）聚合系数C：假设一个v有Kv个邻居，那么邻居之间最多有Kv(Kv - 1)/2条边。Cv就是这些边种实际存在的边的条数。将C定义为所有v的Cv的平均值。对于朋友网络，这些统计参数有直观意义：L是连接两个人的平均朋友的个数；Cv反映了V的所有朋友也是朋友关系的程度。图中的数据是图1种的重编织过程的20个随机实现，然后用规则图形的L(0)和C(0)来除。所有的图形n=1000，k=10.在小世界现象的开始，我们用对数尺度来表示L(p)的迅速降落。在L的降落中，C几乎和规则图形中的值保持一样，表明在小世界的转变在局部区域几乎是不可探测的。
表1：小世界网络的经验分布例子
三个现实网络的L和C，与拥有相同n和k的随机图形的比较。（actors：n=225，226，k=61.电力网：n=4，941，k=2，67.线虫：n=282，k=14）图形定义如下。两个演员如果他们在同一部电影中出演，那么他们用一条边相连。我们将注意转到这个图的连接元素，它包含了因特网电影数据库（imdb）1997年所列演员的90%。对于电力网，点表示了发电站、变压器、变电站，便表示了他们之间的高压传输线。对于线虫，边用来连接两个神经元，不管他们之间是突触还是空白连接。我们把所有的边认为是无方向和无权中的，并且所有的点是不同的，这是粗略的近似。所有的网络都表明了小世界现象：L>=Lrandom
但是 C>>Crandom
现在我们研究小世界的连接型对动态系统功能上有什么意义。我们的测试例子是一个传染性病毒传播的谨慎简化了的模型。人口结构是通过fig1描述的一组图形来建模的。在时间t=0，一个感染了人进入了一个别人全健康的人口群体。在一个单位的时间后，感染个体被永久删除了。在这段时间里，每一个感染的个体都以概率r感染他周围健康的邻居。在随后的时间里，病毒沿着图形的边传播直到她要么传染整个人群要么死，在整个过程中她已经传染了人群的一些片段。
两种情况出现了。第一，重要的感染值Rhalf，病毒感染了一半人口，传染力r（猜测为传染一半人的时间），在这个值时传染了一半的人，随着概率p的增大迅速减小，如图3a。第二，对于那种不管什么人口网络结构都能传染整个人群的疾病，传染整个人群所用的时间T(p)和L(p)的曲线很相似，如图3b。所以，传染疾病在小世界关系的人群里被预测为很容易、迅速传播；需要警惕而且不被注意的点是变成小世界网络只需要很少的short-cuts。
我们的模型在很多重要的地方跟其他疾病传播的网络模型不同。所有的预测网络结构影响疾病传播的速度和程度，而我们的模型将动力学作为一个结构的函数，而不是一些象随机图形、星形、链形等一些特别的拓扑图形。与我们工作最接近的，Kretschmar
and Morris 24已经证明并发性伴侣的数量增加会非常明显的加速性病的传播，传播时沿着图形的边。他们的图形是没有链接的是因为他们固定了性伴侣的数目，k=1.并发性伴侣的增加引起了图形中最大联通图的点的数量的增加，从而快速传播。相反的，我们的图形是联通的；所以传播动力学里预测的改变更多的是因为微妙的结构特性而不是接连的改变。此外，性伴侣数量的改变对于个体是非常明显的，但是对于因此而带来的小世界的变小对个体却没那么明显。
我们已经确认了小世界连结性在三个别的动力系统的效果。在每一个案例里，每个元素通过图1种的图形族来耦合相似。1）对于密集分类计算任务的细胞自动机，我们发现在小世界图形上的简单的“多数”原则胜过所有人类的、运行在环上生成的基因算法生成的规则。2）对于迭代，多玩游戏，在图上的囚徒困境，我们发现随着short cuts的增加，在一群以以牙还牙为策略的人中合作是越来越困难。3）小世界网络耦合的相位震荡与平均场模型同步，尽管他有小级别的边数量。这个结果可能和观察到的广泛分割的视皮质的神经元的同步有关，大脑有一个小世界架构，似是而非的样子。
我们希望我们的工作能激发对小世界网络更深的研究。他的独一无二的高居合、低特征路径长度，在以往的以规则点阵和随机图形为基础的研究中是无法找到的。尽管小世界架构还没有引起很多注意，但是我们认为它会在生物、社会、人造系统中有广泛的、重要的存在着。
图3 疾病传播简单模型的模拟结果。社区结构是在图1种的一个随机重编织图形族的一个实现。a，关键的传染性r，疾病传染了一半的人群，随着p减小。b，T(p)时间，非常具有传染性的疾病传染整个人群的时间与L(p)的曲线很相似。即使原图形中很少比例的边被随机的重编织了，全部传染的时间也与一个随机图形的时间一样少。