2018ACM浙江省賽 ZOJ 4029 Now Loading!!!（前綴和+二分）

題目描述：

DreamGrid has $n$ integers $a_1,a_2,\dots,a_n$. DreamGrid also has $m$ queries, and each time he would like to know the value of $\sum\limits_{1 \le i \le n}\Bigl\lfloor \frac{a_i}{\lceil\log_{p}a_i\rceil}\Bigr\rfloor$ for a given number $p$, where $\lfloor x \rfloor = \max\{y \in \mathbb{Z} \mid y \le x\}$, $\lceil x \rceil = \min\{y \in \mathbb{Z} \mid y \ge x\}$.

Input

There are multiple test cases. The first line of input is an integer $T$ indicating the number of test cases. For each test case:

The first line contains two integers $n$ and $m$ ($1 \le n, m \le 5 \times 10^5$) – the number of integers and the number of queries.

The second line contains $n$ integers $a_1, a_2, \dots, a_n$ ($2 \le a_i \le 10^{9}$).

The third line contains $m$ integers $p_1, p_2, \dots, p_m$ ($2 \le p_i \le 10^{9}$).

It is guaranteed that neither the sum of all $n$ nor the sum of all $m$ exceeds $2 \times 10^6$.

Output

For each test case, output an integer $(\sum\limits_{i=1}^{m} i \cdot z_i) \bmod 10^9$, where $z_i$ is the answer for the $i$-th query.

Sample Input

2
3 2
100 1000 10000
100 10
4 5
2323 223 12312 3
1232 324 2 3 5

Sample Output

11366
45619

翻譯：

輸入n和m，數組的長度爲n，第二行的n個數表示a數組，接下來輸入m個p，
對於每一個p，遍歷a數組，求得$Z_i$

$\sum\limits_{1 \le i \le n}\Bigl\lfloor \frac{a_i}{\lceil\log_{p}a_i\rceil}\Bigr\rfloor$
可以得到m個這樣的數$Z_i$

輸出的結果： $(\sum\limits_{i=1}^{m} i \cdot z_i) \bmod 10^9$

分析：

分母的取值範圍：
每一個$a_i$的範圍爲$[2,10^9]$,每一個p的範圍爲$[2,10^9]$，
對於分母：${\lceil\log_{p}a_i\rceil}$
int的範圍爲2³¹-1(即2147483647)

分母的範圍可以最小爲1，31可以爲上限

枚舉每一個分母的值，對：
$\frac{a_i}{\lceil\log_{p}a_i\rceil}$ 進行前綴和

           for(int k=1; k<=30; k++)///枚舉分母
            for(int i=1; i<=n; i++)
                sum[i][k]=sum[i-1][k]+a[i]/k;

輸入每一個p，求的一個$Z_i$:

p和每一個$a_i$的大小密不可分，並且有向上取整，對a數組從小到大排序，可以用二分解決

初始化兩個值 s1=p,s2=1和index=1;
從index=1枚舉分母，通過二分找到對應的區間，記錄結果，更新s1和s2

        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            LL ans=0,p;
            cin>>p;
            LL s1=p,s2=1;
            int index=1;
            while(true)
            {
                int pos1=upper_bound(a+1,a+1+n,s1)-(a+1);///upper找到第一個大於s1的下標，減去a+1,相當於又減去1，例如 2 3 4 5 upper_bound(3)返回的是位置3，但pos1=2
                int pos2=upper_bound(a+1,a+1+n,s2)-(a+1);
                ans+=sum[pos1][index]-sum[pos2][index];///[pos2,pos1]這個區間的分母都爲index
                index++;
                s2=s1;
                s1*=p;///分母爲1找完了，再找分母爲2，分母爲3，，
                if(pos1==n)
                    break;
            }
            res=(res+ans*i)%mod;
        }

完整代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod=1e9;
const int N=5*1e5+10;
int t,n,m;
LL a[N],sum[N][35];
int main()
{
    cin>>t;
    while (t--)
    {
        cin>>n>>m;
        for (int i=1; i<=n; i++)
            cin>>a[i];
        sort(a+1,a+n+1);
        for(int k=1; k<=30; k++)///枚舉分母
            for(int i=1; i<=n; i++)
                sum[i][k]=sum[i-1][k]+a[i]/k;
        LL res=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            LL ans=0,p;
            cin>>p;
            LL s1=p,s2=1;
            int index=1;
            while(true)
            {
                int pos1=upper_bound(a+1,a+1+n,s1)-(a+1);
                int pos2=upper_bound(a+1,a+1+n,s2)-(a+1);
                ans+=sum[pos1][index]-sum[pos2][index];
                index++;
                s2=s1;
                s1*=p;
                if(pos1==n)
                    break;
            }
            res=(res+ans*i)%mod;
        }
        cout<<res<<endl;
    }
    return 0;
}