哈希表與哈希函數
hash表，有時候也被稱爲散列表。個人認爲，hash表是介於鏈表和二叉樹之間的一種中間結構。鏈表使用十分方便，但是數據查找十分麻煩；二叉樹中的數據嚴格有序，但是這是以多一個指針作爲代價的結果。hash表既滿足了數據的查找方便，同時不佔用太多的內容空間，使用也十分方便。
打個比方來說，所有的數據就好像許許多多的書本。如果這些書本是一本一本堆起來的，就好像鏈表或者線性表一樣，整個數據會顯得非常的無序和凌亂，在你找到自己需要的書之前，你要經歷許多的查詢過程；而如果你對所有的書本進行編號，並且把這些書本按次序進行排列的話，那麼如果你要尋找的書本編號是n，那麼經過二分查找，你很快就會找到自己需要的書本；但是如果你每一個種類的書本都不是很多，那麼你就可以對這些書本進行歸類，哪些是文學類，哪些是藝術類，哪些是工科的，哪些是理科的，你只要對這些書本進行簡單的歸類，那麼尋找一本書也會變得非常簡單，比如說如果你要找的書是計算機方面的書，那麼你就會到工科一類當中去尋找，這樣查找起來也會顯得麻煩。
哈希（Hash）算法就是單向散列算法，它把某個較大的集合P映射到另一個較小的集合Q中，假如這個算法叫H，那麼就有Q = H（P）。對於P中任何一個值p都有唯一確定的q與之對應，但是一個q可以對應多個p。作爲一個有用的Hash算法，H還應該滿足：H(p)速度比較快；給出一個q，很難算出一個p滿足q = H(p)；給出一個p1，很難算出一個不等於p1的p2使得 H(p1)=H(p2)。
數學原理聽起來很抽象，在網上找到一個很生動的描述。我們有很多的小豬，每個的體重都不一樣，假設體重分佈比較平均(我們考慮到公斤級別)，我們按照體重來分,劃分成100個小豬圈。 然後把每個小豬，按照體重趕進各自的豬圈裏，記錄檔案。
好了，如果我們要精確找到某個小豬怎麼辦呢？我們需要每個豬圈，每個小豬的比對嗎？ 當然不需要了。 我們先看看要找的這個小豬的體重，然後就找到了對應的豬圈了。 在這個豬圈裏的小豬的數量就相對很少了。 我們在這個豬圈裏就可以相對快的找到我們要找到的那個小豬了。
對應回hash算法：就是按照hashcode分配不同的豬圈，將hashcode相同的豬放到一個豬圈裏。 查找的時候，先找到hashcode對應的豬圈，然後在逐個比較裏面的小豬。
關鍵就是建造多少個豬圈比較合適。如果每個小豬的體重全部不同（考慮到毫克級別)，每個都建一個豬圈，那麼我們可以最快速度的找到這頭豬。缺點就是，建造那麼多豬圈的費用有點太高了。 如果我們按照10公斤級別進行劃分，那麼建造的豬圈只有幾個吧，那麼每個圈裏的小豬就很多了。我們雖然可以很快的找到豬圈，但從這個豬圈裏逐個確定那頭小豬也是很累的。 所以，好的hashcode，可以根據實際情況，根據具體的需求，在時間成本(更多的豬圈，更快的速度)和空間本(更少的豬圈，更低的空間需求)之間平衡。
所以一個簡單的定義：哈希算法其本質上就是將一個數據映射成另一個數據，通常情況下原數據的長度比hash後的數據容量大。這種映射的關係我們叫做哈希函數或者散列函數。散列函數能使對一個數據序列的訪問過程更加迅速有效，通過散列函數，數據元素將被更快地定位。常見的構造散列函數的方法有：
- 直接尋址法：取關鍵字或關鍵字的某個線性函數值爲散列地址。即H(key)=key或H(key) = a×key + b，其中a和b爲常數（這種散列函數叫做自身函數）
- 數字分析法
- 摺疊法
- 隨機數法
- 求模取餘法
最經典的莫過於求模取餘法。我們知道，任給一個整數A,將自然數1,2,3,4,…依次除以A,所得的餘數總是循環出現,呈週期性變化, 所以，我們可以取關鍵字被某個不大於散列表表長m的數p除後所得的餘數爲散列地址。即 H(key) = key % p, p<=m。
假設我們有一個很大集合A中有{496,387,184,21,96,31,.....}等等元素，回憶我們上面提到的小豬問題，我們可以將大的集合A（小豬）映射到一個小的集合B（豬圈）（假設B只有16個元素，請參考下圖）。我們對元素A的每一個元素採用求模算法，得到： 496 % 16 = 0, 所以我們把496填入集合B的0號位置，387 % 16 = 3，那麼387被填入集合B的3號位置。
當我們查詢140是否在集合A中時，我們可以對140進行同樣的求模算法，140 % 16=12 ，如果集合B的12號位置爲空，就可以推斷140不在集合A之中。但是，如果12號位置不爲空，是否可以確定140在集合A之中呢？答案是否定的，主要是由於求模算法會對數組長度進行取餘，因此其結果由於數組長度的限制必然會出現重複，比方說{108,12,140,28}，這些元素用上面的算法得到的餘數都是12,所以就會有“衝突”這一問題。解決衝突的方法有很多種，最直觀的莫過於”拉鍊法“，即12號位置填入的不是元素本身，而是一個鏈表，所有餘數相同的元素，都寫入該鏈表。顯然鏈表中的元素要遠比集合A中的元素少了很多，這時就可以對鏈表做遍歷比較了。
從上面的例子，我們知道對p的選擇很重要，一般取素數或m，若p選的不好，容易產生同義詞，即所謂的“衝突”或“碰撞”。發生“衝突”的概率可以用裝填因子來表示，裝填因子Load factor a=哈希表的實際元素數目(n)/ 哈希表的容量(m) a越大，哈希表衝突的概率越大，但是a越接近0，那麼哈希表的空間就越浪費。
一般情況下建議Load factor的值爲0-0.7，Java實現的HashMap默認的Load factor的值爲0.75，當裝載因子大於這個值的時候，HashMap會對數組進行擴張至原來兩倍大。
哈希查找因使用哈希 (Hash) 函數而得名，哈希函數又叫散列函數，它是一種能把關鍵字映射成記錄存貯地址的函數。
一.哈希表
①它是一種能把關鍵字映射成記錄存貯地址的函數。
②假定數組 HT[0 ～ m-1] 爲存貯記錄的地址空間， m 爲表長，哈希函數 H 以記錄的關鍵字 K爲自變量，計算出對應的函數值 H(K) ，並以它作爲關鍵字 K 所標識的記錄在表 HT 中的 ( 相對) 地址或索引號，這樣產生的記錄表 HT 叫做對應於哈希函數 H 的哈希表。
③簡言之，在哈希表中，關鍵字爲 K 的記錄，存貯在 HT[H(K)] 位置。
④哈希函數值 H(K) 稱爲 K 的哈希地址或散列地址。
二．構造哈希表
構造哈希函數的方法很多，這裏只介紹一些常用的，計算簡便的方法。
1.平方取中法
算出關鍵字值的平方，再取其中若干位作爲哈希函數值 ( 散列地址 ) 。
【例】假定表中各關鍵字是由字母組成的，用二位數字的整數 01 ～ 26 表示對應的 26 個英文字母在計算機中的內部編碼，則使用平方取中法計算 KEYA ， KEYB ， AKEY ， BKEY 的散列地址可得：
關鍵字 K K 的內部編碼 K 2 H(K)
KEYA 11052501 122157778355001 778
KEYB 11052502 122157800460004 800
AKEY 01110525 001233265775625 265
BKEY 02110525 004454315775625 315
平方之後，取左起第 7 ～ 9 位作爲散列地址。
2.除留餘數法
這種方法是用模運算 (%) 得到的。設給出的關鍵字值爲 K ，存儲區單元數爲 m ，則用一個小於 m 的質數 P 去除 K ，得到的餘數爲 R ，即： R ＝ K % P 。如果 R 落在存儲區地址範圍內，則 R 就取爲哈希函數值 ( 散列地址 ) ；否則，再用一個線性數求出哈希函數值。
【例】有一組關鍵字從 000001 到 859999 ，指定的存儲區地址爲 1000000 ～ 1005999 ，即 m＝ 6000 ，可選 P ＝ 599 ，若要轉換關鍵字 K ＝ 172148 ，則有：
R ＝ 172148 % 599 ＝ 4176
因 R 不在指定的地址範圍內，所以，取哈希函數爲：
H(K) ＝ 1000000 ＋ R
故有：
H(K) ＝ H(172148) ＝ 1004176
這樣就把關鍵字 K 直接轉換成存儲地址了。
三．可能產生的衝突：
（1）衝突
不同的關鍵字值，具有相同的哈希地址，因而被映射到同一表位置上。該現象稱爲衝突(Collision)或碰撞。
【例】上圖中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的結點的存儲地址相同。
（2）安全避免衝突的條件
如何避免衝突發生，則取決於哈希函數的構造。
使散列地址均勻地分佈在哈希表的整個地址區間內，這樣可以避免或減少發生衝突。
哈希函數的構造，與關鍵字的長度、哈希表的大小、關鍵字的實際取值狀況等許多因素有關，而且有的因素事前不能確定。所以，避免衝突這並非是件容易做到的事。
（3）衝突不可能完全避免
由於關鍵字的值域往往比哈希表的個數大的多，所以哈希函數是一種壓縮映射，碰撞是難免的。
【例】存貯 100 個學生記錄，儘管安排 120 個地址空間，但由於學生名 ( 假設不超過 10 個英文字母 ) 的理論個數超過 2610 ，要找到一個哈希函數把 100 個任意的學生名映射成 [0 ，119] 內的不同整數，實際上是不可能的。
注意：問題在於一旦發生了衝突應如何處理。
四．解決衝突的主要方法
雖然我們不希望發生衝突，但實際上發生衝突的可能性仍是存在的。當關鍵字值域遠大於哈希表的長度，而且事先並不知道關鍵字的具體取值時。衝突就難免會發 生。另外，當關鍵字的實際取值大於哈希表的長度時，而且表中已裝滿了記錄，如果插入一個新記錄，不僅發生衝突，而且還會發生溢出。因此，處理衝突和溢出是 哈希技術中的兩個重要問題。
1、開放定址法
用開放定址法解決衝突的做法是：當衝突發生時，使用某種探查(亦稱探測)技術在散列表中形成一個探查(測)序列。沿此序列逐個單元地查找，直到找到給定的關鍵字，或者碰到一個開放的地址(即該地址單元爲空)爲止（若要插入，在探查到開放的地址，則可將待插入的新結點存人該地址單元）。查找時探查到開放的地址則表明表中無待查的關鍵字，即查找失敗。
注意：
①用開放定址法建立散列表時，建表前須將表中所有單元(更嚴格地說，是指單元中存儲的關鍵字)置空。
②空單元的表示與具體的應用相關。
按照形成探查序列的方法不同，可將開放定址法區分爲線性探查法、線性補償探測法、隨機探測等。
（1）線性探查法(Linear Probing)
該方法的基本思想是：
將散列表T[0..m-1]看成是一個循環向量，若初始探查的地址爲d(即h(key)=d)，則最長的探查序列爲：
d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
即:探查時從地址d開始，首先探查T[d]，然後依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此後又循環到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]爲止。
探查過程終止於三種情況：
(1)若當前探查的單元爲空，則表示查找失敗（若是插入則將key寫入其中）；
(2)若當前探查的單元中含有key，則查找成功，但對於插入意味着失敗；
(3)若探查到T[d-1]時仍未發現空單元也未找到key，則無論是查找還是插入均意味着失敗(此時表滿)。
利用開放地址法的一般形式，線性探查法的探查序列爲：
hi=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i
用線性探測法處理衝突，思路清晰，算法簡單，但存在下列缺點：
① 處理溢出需另編程序。一般可另外設立一個溢出表，專門用來存放上述哈希表中放不下的記錄。此溢出表最簡單的結構是順序表，查找方法可用順序查找。
② 按上述算法建立起來的哈希表，刪除工作非常困難。假如要從哈希表 HT 中刪除一個記錄，按理應將這個記錄所在位置置爲空，但我們不能這樣做，而只能標上已被刪除的標記，否則，將會影響以後的查找。
③ 線性探測法很容易產生堆聚現象。所謂堆聚現象，就是存入哈希表的記錄在表中連成一片。按照線性探測法處理衝突，如果生成哈希地址的連續序列愈長 ( 即不同關鍵字值的哈希地址相鄰在一起愈長 ) ，則當新的記錄加入該表時，與這個序列發生衝突的可能性愈大。因此，哈希地址的較長連續序列比較短連續序列生長得快，這就意味着，一旦出現堆聚 ( 伴隨着衝突 ) ，就將引起進一步的堆聚。
（2）線性補償探測法
線性補償探測法的基本思想是：
將線性探測的步長從 1 改爲 Q ，即將上述算法中的 j ＝ (j ＋ 1) % m 改爲： j ＝ (j ＋Q) % m ，而且要求 Q 與 m 是互質的，以便能探測到哈希表中的所有單元。
【例】 PDP-11 小型計算機中的彙編程序所用的符合表，就採用此方法來解決衝突，所用表長 m＝ 1321 ，選用 Q ＝ 25 。
（3）隨機探測
隨機探測的基本思想是：
將線性探測的步長從常數改爲隨機數，即令： j ＝ (j ＋ RN) % m ，其中 RN 是一個隨機數。在實際程序中應預先用隨機數發生器產生一個隨機序列，將此序列作爲依次探測的步長。這樣就能使不同的關鍵字具有不同的探測次序，從而可以避免或減少堆聚。基於與線性探測法相同的理由，在線性補償探測法和隨機探測法中，刪除一個記錄後也要打上刪除標記。
2、拉鍊法
（1）拉鍊法解決衝突的方法
拉鍊法解決衝突的做法是：將所有關鍵字爲同義詞的結點鏈接在同一個單鏈表中。若選定的散列表長度爲m，則可將散列表定義爲一個由m個頭指針組成的指針數組T[0..m-1]。凡是散列地址爲i的結點，均插入到以T[i]爲頭指針的單鏈表中。T中各分量的初值均應爲空指針。在拉鍊法中，裝填因子α可以大於1，但一般均取α≤1。
（2）拉鍊法的優點
與開放定址法相比，拉鍊法有如下幾個優點：
①拉鍊法處理衝突簡單，且無堆積現象，即非同義詞決不會發生衝突，因此平均查找長度較短；
②由於拉鍊法中各鏈表上的結點空間是動態申請的，故它更適合於造表前無法確定表長的情況；
③開放定址法爲減少衝突，要求裝填因子α較小，故當結點規模較大時會浪費很多空間。而拉鍊法中可取α≥1，且結點較大時，拉鍊法中增加的指針域可忽略不計，因此節省空間；
④在用拉鍊法構造的散列表中，刪除結點的操作易於實現。只要簡單地刪去鏈表上相應的結點即可。而對開放地址法構造的散列表，刪除結點不能簡單地將被刪結點的空間置爲空，否則將截斷在它之後填人散列表的同義詞結點的查找路徑。這是因爲各種開放地址法中，空地址單元(即開放地址)都是查找失敗的條件。因此在用開放地址法處理衝突的散列表上執行刪除操作，只能在被刪結點上做刪除標記，而不能真正刪除結點。
（3）拉鍊法的缺點
拉鍊法的缺點是：指針需要額外的空間，故當結點規模較小時，開放定址法較爲節省空間，而若將節省的指針空間用來擴大散列表的規模，可使裝填因子變小，這又減少了開放定址法中的衝突，從而提高平均查找速度。