哈希表与哈希函数
hash表，有时候也被称为散列表。个人认为，hash表是介于链表和二叉树之间的一种中间结构。链表使用十分方便，但是数据查找十分麻烦；二叉树中的数据严格有序，但是这是以多一个指针作为代价的结果。hash表既满足了数据的查找方便，同时不占用太多的内容空间，使用也十分方便。
打个比方来说，所有的数据就好像许许多多的书本。如果这些书本是一本一本堆起来的，就好像链表或者线性表一样，整个数据会显得非常的无序和凌乱，在你找到自己需要的书之前，你要经历许多的查询过程；而如果你对所有的书本进行编号，并且把这些书本按次序进行排列的话，那么如果你要寻找的书本编号是n，那么经过二分查找，你很快就会找到自己需要的书本；但是如果你每一个种类的书本都不是很多，那么你就可以对这些书本进行归类，哪些是文学类，哪些是艺术类，哪些是工科的，哪些是理科的，你只要对这些书本进行简单的归类，那么寻找一本书也会变得非常简单，比如说如果你要找的书是计算机方面的书，那么你就会到工科一类当中去寻找，这样查找起来也会显得麻烦。
哈希（Hash）算法就是单向散列算法，它把某个较大的集合P映射到另一个较小的集合Q中，假如这个算法叫H，那么就有Q = H（P）。对于P中任何一个值p都有唯一确定的q与之对应，但是一个q可以对应多个p。作为一个有用的Hash算法，H还应该满足：H(p)速度比较快；给出一个q，很难算出一个p满足q = H(p)；给出一个p1，很难算出一个不等于p1的p2使得 H(p1)=H(p2)。
数学原理听起来很抽象，在网上找到一个很生动的描述。我们有很多的小猪，每个的体重都不一样，假设体重分布比较平均(我们考虑到公斤级别)，我们按照体重来分,划分成100个小猪圈。 然后把每个小猪，按照体重赶进各自的猪圈里，记录档案。
好了，如果我们要精确找到某个小猪怎么办呢？我们需要每个猪圈，每个小猪的比对吗？ 当然不需要了。 我们先看看要找的这个小猪的体重，然后就找到了对应的猪圈了。 在这个猪圈里的小猪的数量就相对很少了。 我们在这个猪圈里就可以相对快的找到我们要找到的那个小猪了。
对应回hash算法：就是按照hashcode分配不同的猪圈，将hashcode相同的猪放到一个猪圈里。 查找的时候，先找到hashcode对应的猪圈，然后在逐个比较里面的小猪。
关键就是建造多少个猪圈比较合适。如果每个小猪的体重全部不同（考虑到毫克级别)，每个都建一个猪圈，那么我们可以最快速度的找到这头猪。缺点就是，建造那么多猪圈的费用有点太高了。 如果我们按照10公斤级别进行划分，那么建造的猪圈只有几个吧，那么每个圈里的小猪就很多了。我们虽然可以很快的找到猪圈，但从这个猪圈里逐个确定那头小猪也是很累的。 所以，好的hashcode，可以根据实际情况，根据具体的需求，在时间成本(更多的猪圈，更快的速度)和空间本(更少的猪圈，更低的空间需求)之间平衡。
所以一个简单的定义：哈希算法其本质上就是将一个数据映射成另一个数据，通常情况下原数据的长度比hash后的数据容量大。这种映射的关系我们叫做哈希函数或者散列函数。散列函数能使对一个数据序列的访问过程更加迅速有效，通过散列函数，数据元素将被更快地定位。常见的构造散列函数的方法有：
- 直接寻址法：取关键字或关键字的某个线性函数值为散列地址。即H(key)=key或H(key) = a×key + b，其中a和b为常数（这种散列函数叫做自身函数）
- 数字分析法
- 折叠法
- 随机数法
- 求模取余法
最经典的莫过于求模取余法。我们知道，任给一个整数A,将自然数1,2,3,4,…依次除以A,所得的余数总是循环出现,呈周期性变化, 所以，我们可以取关键字被某个不大于散列表表长m的数p除后所得的余数为散列地址。即 H(key) = key % p, p<=m。
假设我们有一个很大集合A中有{496,387,184,21,96,31,.....}等等元素，回忆我们上面提到的小猪问题，我们可以将大的集合A（小猪）映射到一个小的集合B（猪圈）（假设B只有16个元素，请参考下图）。我们对元素A的每一个元素采用求模算法，得到： 496 % 16 = 0, 所以我们把496填入集合B的0号位置，387 % 16 = 3，那么387被填入集合B的3号位置。
当我们查询140是否在集合A中时，我们可以对140进行同样的求模算法，140 % 16=12 ，如果集合B的12号位置为空，就可以推断140不在集合A之中。但是，如果12号位置不为空，是否可以确定140在集合A之中呢？答案是否定的，主要是由于求模算法会对数组长度进行取余，因此其结果由于数组长度的限制必然会出现重复，比方说{108,12,140,28}，这些元素用上面的算法得到的余数都是12,所以就会有“冲突”这一问题。解决冲突的方法有很多种，最直观的莫过于”拉链法“，即12号位置填入的不是元素本身，而是一个链表，所有余数相同的元素，都写入该链表。显然链表中的元素要远比集合A中的元素少了很多，这时就可以对链表做遍历比较了。
从上面的例子，我们知道对p的选择很重要，一般取素数或m，若p选的不好，容易产生同义词，即所谓的“冲突”或“碰撞”。发生“冲突”的概率可以用装填因子来表示，装填因子Load factor a=哈希表的实际元素数目(n)/ 哈希表的容量(m) a越大，哈希表冲突的概率越大，但是a越接近0，那么哈希表的空间就越浪费。
一般情况下建议Load factor的值为0-0.7，Java实现的HashMap默认的Load factor的值为0.75，当装载因子大于这个值的时候，HashMap会对数组进行扩张至原来两倍大。
哈希查找因使用哈希 (Hash) 函数而得名，哈希函数又叫散列函数，它是一种能把关键字映射成记录存贮地址的函数。
一.哈希表
①它是一种能把关键字映射成记录存贮地址的函数。
②假定数组 HT[0 ～ m-1] 为存贮记录的地址空间， m 为表长，哈希函数 H 以记录的关键字 K为自变量，计算出对应的函数值 H(K) ，并以它作为关键字 K 所标识的记录在表 HT 中的 ( 相对) 地址或索引号，这样产生的记录表 HT 叫做对应于哈希函数 H 的哈希表。
③简言之，在哈希表中，关键字为 K 的记录，存贮在 HT[H(K)] 位置。
④哈希函数值 H(K) 称为 K 的哈希地址或散列地址。
二．构造哈希表
构造哈希函数的方法很多，这里只介绍一些常用的，计算简便的方法。
1.平方取中法
算出关键字值的平方，再取其中若干位作为哈希函数值 ( 散列地址 ) 。
【例】假定表中各关键字是由字母组成的，用二位数字的整数 01 ～ 26 表示对应的 26 个英文字母在计算机中的内部编码，则使用平方取中法计算 KEYA ， KEYB ， AKEY ， BKEY 的散列地址可得：
关键字 K K 的内部编码 K 2 H(K)
KEYA 11052501 122157778355001 778
KEYB 11052502 122157800460004 800
AKEY 01110525 001233265775625 265
BKEY 02110525 004454315775625 315
平方之后，取左起第 7 ～ 9 位作为散列地址。
2.除留余数法
这种方法是用模运算 (%) 得到的。设给出的关键字值为 K ，存储区单元数为 m ，则用一个小于 m 的质数 P 去除 K ，得到的余数为 R ，即： R ＝ K % P 。如果 R 落在存储区地址范围内，则 R 就取为哈希函数值 ( 散列地址 ) ；否则，再用一个线性数求出哈希函数值。
【例】有一组关键字从 000001 到 859999 ，指定的存储区地址为 1000000 ～ 1005999 ，即 m＝ 6000 ，可选 P ＝ 599 ，若要转换关键字 K ＝ 172148 ，则有：
R ＝ 172148 % 599 ＝ 4176
因 R 不在指定的地址范围内，所以，取哈希函数为：
H(K) ＝ 1000000 ＋ R
故有：
H(K) ＝ H(172148) ＝ 1004176
这样就把关键字 K 直接转换成存储地址了。
三．可能产生的冲突：
（1）冲突
不同的关键字值，具有相同的哈希地址，因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。
【例】上图中的k2≠k5，但h(k2)=h(k5)，故k2和K5所在的结点的存储地址相同。
（2）安全避免冲突的条件
如何避免冲突发生，则取决于哈希函数的构造。
使散列地址均匀地分布在哈希表的整个地址区间内，这样可以避免或减少发生冲突。
哈希函数的构造，与关键字的长度、哈希表的大小、关键字的实际取值状况等许多因素有关，而且有的因素事前不能确定。所以，避免冲突这并非是件容易做到的事。
（3）冲突不可能完全避免
由于关键字的值域往往比哈希表的个数大的多，所以哈希函数是一种压缩映射，碰撞是难免的。
【例】存贮 100 个学生记录，尽管安排 120 个地址空间，但由于学生名 ( 假设不超过 10 个英文字母 ) 的理论个数超过 2610 ，要找到一个哈希函数把 100 个任意的学生名映射成 [0 ，119] 内的不同整数，实际上是不可能的。
注意：问题在于一旦发生了冲突应如何处理。
四．解决冲突的主要方法
虽然我们不希望发生冲突，但实际上发生冲突的可能性仍是存在的。当关键字值域远大于哈希表的长度，而且事先并不知道关键字的具体取值时。冲突就难免会发 生。另外，当关键字的实际取值大于哈希表的长度时，而且表中已装满了记录，如果插入一个新记录，不仅发生冲突，而且还会发生溢出。因此，处理冲突和溢出是 哈希技术中的两个重要问题。
1、开放定址法
用开放定址法解决冲突的做法是：当冲突发生时，使用某种探查(亦称探测)技术在散列表中形成一个探查(测)序列。沿此序列逐个单元地查找，直到找到给定的关键字，或者碰到一个开放的地址(即该地址单元为空)为止（若要插入，在探查到开放的地址，则可将待插入的新结点存人该地址单元）。查找时探查到开放的地址则表明表中无待查的关键字，即查找失败。
注意：
①用开放定址法建立散列表时，建表前须将表中所有单元(更严格地说，是指单元中存储的关键字)置空。
②空单元的表示与具体的应用相关。
按照形成探查序列的方法不同，可将开放定址法区分为线性探查法、线性补偿探测法、随机探测等。
（1）线性探查法(Linear Probing)
该方法的基本思想是：
将散列表T[0..m-1]看成是一个循环向量，若初始探查的地址为d(即h(key)=d)，则最长的探查序列为：
d，d+l，d+2，…，m-1，0，1，…，d-1
即:探查时从地址d开始，首先探查T[d]，然后依次探查T[d+1]，…，直到T[m-1]，此后又循环到T[0]，T[1]，…，直到探查到T[d-1]为止。
探查过程终止于三种情况：
(1)若当前探查的单元为空，则表示查找失败（若是插入则将key写入其中）；
(2)若当前探查的单元中含有key，则查找成功，但对于插入意味着失败；
(3)若探查到T[d-1]时仍未发现空单元也未找到key，则无论是查找还是插入均意味着失败(此时表满)。
利用开放地址法的一般形式，线性探查法的探查序列为：
hi=(h(key)+i)％m 0≤i≤m-1 //即di=i
用线性探测法处理冲突，思路清晰，算法简单，但存在下列缺点：
① 处理溢出需另编程序。一般可另外设立一个溢出表，专门用来存放上述哈希表中放不下的记录。此溢出表最简单的结构是顺序表，查找方法可用顺序查找。
② 按上述算法建立起来的哈希表，删除工作非常困难。假如要从哈希表 HT 中删除一个记录，按理应将这个记录所在位置置为空，但我们不能这样做，而只能标上已被删除的标记，否则，将会影响以后的查找。
③ 线性探测法很容易产生堆聚现象。所谓堆聚现象，就是存入哈希表的记录在表中连成一片。按照线性探测法处理冲突，如果生成哈希地址的连续序列愈长 ( 即不同关键字值的哈希地址相邻在一起愈长 ) ，则当新的记录加入该表时，与这个序列发生冲突的可能性愈大。因此，哈希地址的较长连续序列比较短连续序列生长得快，这就意味着，一旦出现堆聚 ( 伴随着冲突 ) ，就将引起进一步的堆聚。
（2）线性补偿探测法
线性补偿探测法的基本思想是：
将线性探测的步长从 1 改为 Q ，即将上述算法中的 j ＝ (j ＋ 1) % m 改为： j ＝ (j ＋Q) % m ，而且要求 Q 与 m 是互质的，以便能探测到哈希表中的所有单元。
【例】 PDP-11 小型计算机中的汇编程序所用的符合表，就采用此方法来解决冲突，所用表长 m＝ 1321 ，选用 Q ＝ 25 。
（3）随机探测
随机探测的基本思想是：
将线性探测的步长从常数改为随机数，即令： j ＝ (j ＋ RN) % m ，其中 RN 是一个随机数。在实际程序中应预先用随机数发生器产生一个随机序列，将此序列作为依次探测的步长。这样就能使不同的关键字具有不同的探测次序，从而可以避免或减少堆聚。基于与线性探测法相同的理由，在线性补偿探测法和随机探测法中，删除一个记录后也要打上删除标记。
2、拉链法
（1）拉链法解决冲突的方法
拉链法解决冲突的做法是：将所有关键字为同义词的结点链接在同一个单链表中。若选定的散列表长度为m，则可将散列表定义为一个由m个头指针组成的指针数组T[0..m-1]。凡是散列地址为i的结点，均插入到以T[i]为头指针的单链表中。T中各分量的初值均应为空指针。在拉链法中，装填因子α可以大于1，但一般均取α≤1。
（2）拉链法的优点
与开放定址法相比，拉链法有如下几个优点：
①拉链法处理冲突简单，且无堆积现象，即非同义词决不会发生冲突，因此平均查找长度较短；
②由于拉链法中各链表上的结点空间是动态申请的，故它更适合于造表前无法确定表长的情况；
③开放定址法为减少冲突，要求装填因子α较小，故当结点规模较大时会浪费很多空间。而拉链法中可取α≥1，且结点较大时，拉链法中增加的指针域可忽略不计，因此节省空间；
④在用拉链法构造的散列表中，删除结点的操作易于实现。只要简单地删去链表上相应的结点即可。而对开放地址法构造的散列表，删除结点不能简单地将被删结点的空间置为空，否则将截断在它之后填人散列表的同义词结点的查找路径。这是因为各种开放地址法中，空地址单元(即开放地址)都是查找失败的条件。因此在用开放地址法处理冲突的散列表上执行删除操作，只能在被删结点上做删除标记，而不能真正删除结点。
（3）拉链法的缺点
拉链法的缺点是：指针需要额外的空间，故当结点规模较小时，开放定址法较为节省空间，而若将节省的指针空间用来扩大散列表的规模，可使装填因子变小，这又减少了开放定址法中的冲突，从而提高平均查找速度。