GPS从入门到放弃(十) — 定位方程解算和定位精度
上一篇伪距与载波相位 中我们介绍了伪距的计算方法,也得到了包含 ( x , y , z , δ t ) (x,\ y,\ z,\ \delta_t) ( x , y , z , δ t ) 四个未知数的GPS定位基本方程:
( x − x s ) 2 + ( y − y s ) 2 + ( z − z s ) 2 + c ⋅ δ t = ρ + c ⋅ δ t , s − c I − c T − c ϵ \sqrt{(x-x_{s})^2 + (y-y_{s})^2 + (z-z_{s})^2} + c\cdot\delta_t = \rho + c\cdot\delta_{t,s} - cI - cT -c\epsilon ( x − x s ) 2 + ( y − y s ) 2 + ( z − z s ) 2 + c ⋅ δ t = ρ + c ⋅ δ t , s − c I − c T − c ϵ
那么根据这个方程我们怎么来定位呢?
这个方程中的 I I I 和 T T T 分别是大气电离层导致的延时和大气对流层导致的延时,这些延时的计算方法放到后面再讲,目前我们先把它当作已知量。δ t , s \delta_{t,s} δ t , s 为卫星钟差,在导航电文中有参数修正,以后再讲。于是这个方程中只涉及到四个未知数和一个误差。我们先考虑简单的情况,即暂时不管误差 ϵ \epsilon ϵ ,在分析定位精度的时候再来考虑它。
根据我们第一篇GPS基础原理 讲过GPS的基本原理,只需已知四颗卫星的测量值,即可组成一个四元方程组,然后解出来这四个未知数。要注意的是这个方程组是一个非线性方程组,因此在实际解算过程中,常用牛顿迭代法来进行。
牛顿迭代法
牛顿迭代法是一个常用的解非线性方程组的方法,它将非线性方程组在一个估计解的附近进行线性化,然后求解线性化后的方程组,接着再更新解的估计值。如此反复迭代,直到解的精度满足要求为止。
根据牛顿迭代法,将四元方程组在第k次迭代的估计解 [ x k y k z k δ t , k ] T [x_k \ \ y_k \ \ z_k\ \ \delta_{t,k}]^T [ x k y k z k δ t , k ] T 处线性化后方程组为:
G [ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ] = b \boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c}
\Delta x\\
\Delta y\\
\Delta z\\
c\cdot\Delta \delta_{t}
\end{array}
\right] = \boldsymbol{b}
G ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = b
其中
G = [ x k − x s , 1 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 y k − y s , 1 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 z k − z s , 1 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 1 x k − x s , 2 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 y k − y s , 2 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 z k − z s , 2 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 1 x k − x s , 3 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 y k − y s , 3 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 z k − z s , 3 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 1 x k − x s , 4 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 y k − y s , 4 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 z k − z s , 4 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 1 ] \boldsymbol{G} = \left[ \begin{array}{cccc}
\frac{x_k-x_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} &
\frac{y_k-y_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} &
\frac{z_k-z_{s,1}}{\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2}} & 1\\
\frac{x_k-x_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} &
\frac{y_k-y_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} &
\frac{z_k-z_{s,2}}{\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2}} & 1\\
\frac{x_k-x_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} &
\frac{y_k-y_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} &
\frac{z_k-z_{s,3}}{\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2}} & 1\\
\frac{x_k-x_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} &
\frac{y_k-y_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} &
\frac{z_k-z_{s,4}}{\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2}} & 1
\end{array}
\right]
G = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 x k − x s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 x k − x s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 x k − x s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 x k − x s , 4 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 y k − y s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 y k − y s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 y k − y s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 y k − y s , 4 ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 z k − z s , 1 ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 z k − z s , 2 ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 z k − z s , 3 ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 z k − z s , 4 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
b = [ ρ 1 + c ⋅ δ t , s , 1 − c I 1 − c T 1 − ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 2 + c ⋅ δ t , s , 2 − c I 2 − c T 2 − ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 3 + c ⋅ δ t , s , 3 − c I 3 − c T 3 − ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 4 + c ⋅ δ t , s , 4 − c I 4 − c T 4 − ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 − c ⋅ δ t , k ]
\boldsymbol{b} = \left[ \begin{array}{cccc}
\rho_1 + c\cdot\delta_{t,s,1} - cI_1 - cT_1 -\sqrt{(x_k-x_{s,1})^2 + (y_k-y_{s,1})^2 + (z_k-z_{s,1})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\
\rho_2 + c\cdot\delta_{t,s,2} - cI_2 - cT_2 -\sqrt{(x_k-x_{s,2})^2 + (y_k-y_{s,2})^2 + (z_k-z_{s,2})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\
\rho_3 + c\cdot\delta_{t,s,3} - cI_3 - cT_3 -\sqrt{(x_k-x_{s,3})^2 + (y_k-y_{s,3})^2 + (z_k-z_{s,3})^2} - c\cdot\delta_{t,k} \\
\rho_4 + c\cdot\delta_{t,s,4} - cI_4 - cT_4 -\sqrt{(x_k-x_{s,4})^2 + (y_k-y_{s,4})^2 + (z_k-z_{s,4})^2} - c\cdot\delta_{t,k}
\end{array}
\right]
b = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ρ 1 + c ⋅ δ t , s , 1 − c I 1 − c T 1 − ( x k − x s , 1 ) 2 + ( y k − y s , 1 ) 2 + ( z k − z s , 1 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 2 + c ⋅ δ t , s , 2 − c I 2 − c T 2 − ( x k − x s , 2 ) 2 + ( y k − y s , 2 ) 2 + ( z k − z s , 2 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 3 + c ⋅ δ t , s , 3 − c I 3 − c T 3 − ( x k − x s , 3 ) 2 + ( y k − y s , 3 ) 2 + ( z k − z s , 3 ) 2 − c ⋅ δ t , k ρ 4 + c ⋅ δ t , s , 4 − c I 4 − c T 4 − ( x k − x s , 4 ) 2 + ( y k − y s , 4 ) 2 + ( z k − z s , 4 ) 2 − c ⋅ δ t , k ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
我们将 G \boldsymbol{G} G 称为雅可比矩阵。
设第k次迭代时接收机到卫星 s s s 的单位观测矢量为 e s , k = [ e s , k , x , e s , k , y , e s , k , z ] T \boldsymbol{e}_{s,k}=[e_{s,k,x},\ e_{s,k,y},\ e_{s,k,z}]^T e s , k = [ e s , k , x , e s , k , y , e s , k , z ] T ,则 G \boldsymbol{G} G 可以写为:
G = [ − e 1 , k , x − e 1 , k , y − e 1 , k , z 1 − e 2 , k , x − e 2 , k , y − e 2 , k , z 1 − e 3 , k , x − e 3 , k , y − e 3 , k , z 1 − e 4 , k , x − e 4 , k , y − e 4 , k , z 1 ] = [ − e 1 , k 1 − e 2 , k 1 − e 3 , k 1 − e 4 , k 1 ]
\boldsymbol{G} = \left[ \begin{array}{cccc}
-e_{1,k,x} & -e_{1,k,y} & -e_{1,k,z} & 1\\
-e_{2,k,x} & -e_{2,k,y} & -e_{2,k,z} & 1\\
-e_{3,k,x} & -e_{3,k,y} & -e_{3,k,z} & 1\\
-e_{4,k,x} & -e_{4,k,y} & -e_{4,k,z} & 1
\end{array}
\right] = \left[ \begin{array}{cc}
-\boldsymbol{e}_{1,k} & 1\\
-\boldsymbol{e}_{2,k} & 1\\
-\boldsymbol{e}_{3,k} & 1\\
-\boldsymbol{e}_{4,k} & 1
\end{array}
\right]
G = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ − e 1 , k , x − e 2 , k , x − e 3 , k , x − e 4 , k , x − e 1 , k , y − e 2 , k , y − e 3 , k , y − e 4 , k , y − e 1 , k , z − e 2 , k , z − e 3 , k , z − e 4 , k , z 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ − e 1 , k − e 2 , k − e 3 , k − e 4 , k 1 1 1 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
观察 G \boldsymbol{G} G 可以发现,G \boldsymbol{G} G 只与卫星和接收机的几何位置有关,所以也称 G \boldsymbol{G} G 为几何矩阵。
而一般把 b \boldsymbol{b} b 称为伪距残差。它是观测到的伪距与第k次迭代时估计出的伪距的差值。
得到线性化的方程组之后,我们就可以用最小二乘法将方程组解出来,得到
[ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ] = ( G T G ) − 1 G T b \left[ \begin{array}{c}
\Delta x\\
\Delta y\\
\Delta z\\
c\cdot\Delta \delta_{t}
\end{array}
\right] = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{b}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x Δ y Δ z c ⋅ Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ( G T G ) − 1 G T b
然后进一步得到迭代下一步的估计值
[ x k + 1 y k + 1 z k + 1 δ t , k + 1 ] = [ x k + Δ x y k + Δ y z k + Δ z δ t , k + Δ δ t ] \left[ \begin{array}{c}
x_{k+1}\\
y_{k+1}\\
z_{k+1}\\
\delta_{t,k+1}
\end{array}
\right] = \left[ \begin{array}{c}
x_{k} + \Delta x\\
y_{k} + \Delta y\\
z_{k} + \Delta z\\
\delta_{t,k} + \Delta \delta_{t}
\end{array}
\right]
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x k + 1 y k + 1 z k + 1 δ t , k + 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ x k + Δ x y k + Δ y z k + Δ z δ t , k + Δ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
如此反复迭代,直到 [ x k y k z k δ t , k ] T [x_k \ \ y_k \ \ z_k\ \ \delta_{t,k}]^T [ x k y k z k δ t , k ] T 满足精度要求,牛顿迭代法即可中止。
在使用牛顿迭代法解算位置的过程中,需要注意几点:
是否收敛。解的估计值有可能在一个值附近来回振荡,这是无法得到更高精度的解。
是否收敛到地球附近位置。解有可能收敛到远离地球的一端,这时需要重新给初始值,重新进行迭代解算。
严格来讲,每次迭代位置更新后,大气延时等误差需要重新估算,为了减小计算量,在连续定位时可以认为此误差在迭代中保持不变。
若可观测卫星多于4颗,可以对雅可比矩阵 G \boldsymbol{G} G 进行扩展,依然可以用牛顿迭代和最小二乘法来求解。
若可观测卫星少于4颗,可以利用各种假设来增加辅助方程,以解出需要的未知数。如限定高度变化量、限定运动方向、限定接收机钟差变化量等,当然此处需要注意限定的有效期。
定位精度
下面我们把误差也考虑进去,假定测量误差和定位误差都很小,于是线性化后方程组为:
G [ Δ x + ϵ x Δ y + ϵ y Δ z + ϵ z c ⋅ ( Δ δ t + ϵ δ t ) ] = b + ϵ ρ \boldsymbol{G} \left[ \begin{array}{c}
\Delta x + \epsilon_x\\
\Delta y + \epsilon_y\\
\Delta z + \epsilon_z\\
c\cdot(\Delta \delta_{t} + \epsilon_{\delta_{t}})
\end{array}
\right] = \boldsymbol{b + \epsilon_\rho}
G ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ Δ x + ϵ x Δ y + ϵ y Δ z + ϵ z c ⋅ ( Δ δ t + ϵ δ t ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = b + ϵ ρ
其中
ϵ ρ = [ ϵ ρ , 1 ϵ ρ , 2 ϵ ρ , 3 ϵ ρ , 4 ]
\boldsymbol{\epsilon_\rho} = \left[ \begin{array}{c}
\epsilon_{\rho,1}\\
\epsilon_{\rho,2}\\
\epsilon_{\rho,3}\\
\epsilon_{\rho,4}
\end{array}
\right]
ϵ ρ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ ρ , 1 ϵ ρ , 2 ϵ ρ , 3 ϵ ρ , 4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
为卫星的测量误差向量,ϵ x , ϵ y , ϵ z \epsilon_x, \epsilon_y, \epsilon_z ϵ x , ϵ y , ϵ z 和 ϵ δ t \epsilon_{\delta_t} ϵ δ t 分别表示由误差向量 ϵ ρ \boldsymbol{\epsilon_\rho} ϵ ρ 引起的定位和定时误差。
解这个方程可以得到
[ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ] = ( G T G ) − 1 G T ϵ ρ \left[ \begin{array}{c}
\epsilon_x\\
\epsilon_y\\
\epsilon_z\\
\epsilon_{\delta_{t}}
\end{array}
\right] = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{\epsilon_\rho}
⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ = ( G T G ) − 1 G T ϵ ρ
假设各个卫星的测量误差都为正态分布,其均值 E [ ϵ ρ ] = 0 E[\epsilon_\rho] = 0 E [ ϵ ρ ] = 0 ,方差 V [ ϵ ρ ] = σ U R E 2 V[\epsilon_\rho] = \sigma_{URE}^2 V [ ϵ ρ ] = σ U R E 2 ,假设各个卫星的测量误差互不相关,则可以推导出定位误差协方差阵为:
C o v ( [ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ] ) = ( G T G ) − 1 σ U R E 2 = H σ U R E 2
Cov\left(\left[ \begin{array}{c}
\epsilon_x\\
\epsilon_y\\
\epsilon_z\\
\epsilon_{\delta_{t}}
\end{array}
\right]\right)
= (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}\sigma_{URE}^2
= \boldsymbol{H}\sigma_{URE}^2
C o v ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ϵ x ϵ y ϵ z ϵ δ t ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ = ( G T G ) − 1 σ U R E 2 = H σ U R E 2
其中
H = ( G T G ) − 1
\boldsymbol{H} = (\boldsymbol{G}^T\boldsymbol{G})^{-1}
H = ( G T G ) − 1
为权系数阵,是一个对称阵。
由定位误差协方差阵可以看出,GPS定位误差的方差是测量误差的方差被权系数阵放大的结果,而权系数阵只与卫星的几何分布有关,故GPS的定位误差取决于测量误差和卫星几何分布两个因素。
精度因子
有了权系数阵,我们就可以计算精度因子了。精度因子用于表示各个方向和时钟的误差放大倍数。假设在站心座标系(座标系可参见前文GPS座标系 )下表示的权系数阵为:
H = [ h 11 h 22 h 33 h 44 ]
\boldsymbol{H} = \left[ \begin{array}{cccc}
h_{11} & & & \\
& h_{22} & & \\
& & h_{33} & \\
& & & h_{44}
\end{array}
\right]
H = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ h 1 1 h 2 2 h 3 3 h 4 4 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
那么水平精度因子(HDOP)、高程精度因子(VDOP)、位置精度因子(PDOP)、钟差精度因子(TDOP)、几何精度因子(GDOP)分别为:
H D O P = h 11 2 + h 22 2 V D O P = h 33 2 P D O P = h 11 2 + h 22 2 + h 33 2 T D O P = h 44 2 G D O P = h 11 2 + h 22 2 + h 33 2 + h 44 2 \begin{array}{c}
HDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2} \\
VDOP = \sqrt{h_{33}^2} \\
PDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2 + h_{33}^2} \\
TDOP = \sqrt{h_{44}^2} \\
GDOP = \sqrt{h_{11}^2 + h_{22}^2 + h_{33}^2 + h_{44}^2}
\end{array}
H D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2 V D O P = h 3 3 2 P D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2 + h 3 3 2 T D O P = h 4 4 2 G D O P = h 1 1 2 + h 2 2 2 + h 3 3 2 + h 4 4 2
一般GPS接收机在输出定位结果的同时都会输出精度因子,在相同测量误差的情况下,精度因子越小,定位精度越高。
精度因子只与卫星的几何分布有关,有一个简单的方法可以大致判断GDOP的大小:以接收机所在位置为锥顶、以各个卫星所在位置为顶点组成一个锥形体,这个锥形体体积越大,相应的GDOP就越小。