【神經網絡和深度學習】吳恩達（Andrew Ng）- 第一課第三週課程編程作業

一、綜述

  本文根據吳恩達老師第三週的深度學習課程的課後編程作業來寫的，其中涉及到的test_cases.py和planar_utils.py在此處下載。

二、準備工作

2.1 分析問題

  我們要做的是：建立一個包含一個隱藏層，一個輸出層的神經網絡。該神經網的功能與第二週的Logistic Regression迴歸處理的問題是相似的，都是分類問題。但是，此次的數據集根據單純的Logistic Resgression迴歸處理的結果是不太好的，因此使用帶有隱藏層的神經網絡來處理。

2.2 分析數據

  首先，我們查看此次實驗的數據：

# 分析數據

X, Y = planar_utils.load_planar_dataset()
print(np.shape(X))
print(np.shape(Y))
# 可視化
plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=Y, s=40, cmap=plt.cm.Spectral) #繪製散點圖
plt.show()
# 上一語句如出現問題，請使用下面的語句：
# plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=np.squeeze(Y), s=40, cmap=plt.cm.Spectral) #繪製散點圖

  輸出：

# X(2, 400)
# 也就說明有兩個特徵，即X1 X2，一共有400組特徵輸入
(2, 400)
# Y(1,400)
# 輸出分別是400組輸入的label
(1, 400)

三、分析網絡

  我們要建立的網絡結構如下：

3.1 公式及含義

  本次實驗涉及到的公式及相關含義：
$z^{[1](i)} = W^{[1]} x^{(i)} + b^{[2](i)} \tag{1}$
$a^{[1](i)} = tanh(z^{[1](i)})\tag{2}$
$z^{[2](i)} = W^{[2]} x^{(i)} + b^{[2](i)} \tag{3}$
$\hat{y}^{(i)} = a^{[2](i)} = sigmoid(z^{[2](i)}) = \sigma(z^{[2](i)}) = \frac{1}{1+e^{-z^{[2](i)}}} \tag{4}$
$y^{(i)}_{prediction} = \begin{cases} 1, \quad\quad\quad y^{(i)} > 0.5 \\ 0, \quad\quad\quad 其它 \end{cases} \tag{5}$
$J = -\frac{1}{m}\sum_{i=0}^{m-1}\Big( y^{(i)}log(\hat y^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1- \hat y^{(i)}) \Big)\tag {6}$
  其中J是交叉熵損失，在《統計學方法》(李航 著)第六章中有詳細講解。其餘公式在吳恩達老師的深度學習課程第一課第三週中講過，如果有什麼忘記或者不清楚的，建議及時回看。
（PS：附上PPT中的梯度下降算法更新參數部分的公式）

其中$g^{[1]'} = 1-a^2$

四、構建網絡

  構建網絡的一般方法如下：
  1.定義神經網絡結構（輸入特徵值個數，隱藏層規模，輸出層規模等）
  2.初始化模型參數
  3.循環優化參數：
   3.1 正向傳播
   3.2 計算損失
   3.3 後向傳播
   3.4 更新參數

4.1 定義神經網絡結構

  結構如分析網絡時的圖片，有兩個特徵輸入，隱藏層有四個神經元，輸出層有一個神經元，有一個輸出值。

# 定義神經網絡結構
def init_layer_size(x, y):
    # 輸出層數量（特徵值個數）
    n_x = x.shape[0]
    # 隱藏層數量（神經元個數）
    n_h = 4
    # 輸出層數量
    n_y = y.shape[0]
    return n_x, n_y, n_h
    

4.2 初始化模型參數

# 初始化模型參數

# n_x :特徵值類別
# n_y :輸出層輸出個數
# n_h :隱藏層神經元個數
def initialize_parameters(n_x, n_y, n_h):

    # 隱藏層
    # n_h個神經元（隱藏層輸出個數），n_x個輸入
    W1 = np.random.randn(n_h, n_x) * 0.01
    # 加到每個神經元上的，所以是（神經元個數，1）
    b1 = np.zeros(shape=(n_h, 1))

    # 輸出層
    # n_y個神經元（輸出層輸出個數），n_h個輸入（來自於隱藏層的輸出）
    W2 = np.random.randn(n_y, n_h) * 0.01
    # 加到每個神經元上的，所以是（神經元個數，1）
    b2 = np.zeros(shape=(n_y, 1))

    assert (W1.shape == (n_h, n_x))
    assert (b1.shape == (n_h, 1))
    assert (W2.shape == (n_y, n_h))
    assert (b2.shape == (n_y, 1))

    res = {
        'W1': W1,
        'b1': b1,
        'W2': W2,
        'b2': b2
    }
    return res

4.3 循環優化參數

 4.3.1 正向傳播參數

# 正向傳播參數

# X 輸入
# parameters 參數
def forward_propagation(X, parameters):
    W1 = parameters['W1']
    b1 = parameters['b1']
    W2 = parameters['W2']
    b2 = parameters['b2']

    # W1 (4, 2)
    # X  (2, 400)
    # b1 (4, 1)
    Z1 = np.dot(W1, X) + b1
    A1 = np.tanh(Z1)
    Z2 = np.dot(W2, A1) + b2
    # A2 (1, 400)
    A2 = sigmoid(Z2)

    # 確保數據的正確性
    assert (A2.shape == (1, X.shape[1]))

    res = {
        'Z1': Z1,
        'A1': A1,
        'Z2': Z2,
        'A2': A2
    }
    return A2, res

 4.3.2 計算損失

# 計算交叉熵損失（Cost Function）
# A2 (1, 400)
# Y  (1, 400)
def compute_cost(A2, Y):
    # 訓練集組數
    m = Y.shape[1]
    cost = (-1 / m) * np.sum(Y * np.log(A2) + (1 - Y) * (np.log(1 - A2)))  # 成本函數
    cost = float(np.squeeze(cost))

    assert (isinstance(cost, float))

    return cost

 4.3.3 反向傳播

# 反向傳播
def background_propagation(parameters, res, X, Y):
    m = Y.shape[1]

    W1 = parameters['W1']
    W2 = parameters['W2']

    A1 = res['A1']
    A2 = res['A2']

    dZ2 = A2 - Y
    dW2 = (1 / m) * np.dot(dZ2, A1.T)
    db2 = (1 / m) * np.sum(dZ2, axis=1, keepdims=True)

    dZ1 = np.multiply(np.dot(W2.T, dZ2), (1 - np.power(A1, 2)))
    dW1 = (1 / m) * np.dot(dZ1, X.T)
    db1 = (1 / m) * np.sum(dZ1, axis=1, keepdims=True)

    res = {
        'dW1': dW1,
        'db1': db1,
        'dW2': dW2,
        'db2': db2,
    }

    return res

 4.3.4 更新參數

# 使用梯度下降算法更新參數
def update_parameters(parameters, res, learning_rate=0.5):
    W1, W2 = parameters['W1'], parameters['W2']
    b1, b2 = parameters['b1'], parameters['b2']

    dW1, dW2 = res['dW1'], res['dW2']
    db1, db2 = res['db1'], res['db2']

    W1 = W1 - learning_rate * dW1
    b1 = b1 - learning_rate * db1
    W2 = W2 - learning_rate * dW2
    b2 = b2 - learning_rate * db2

    res = {
        'W1': W1,
        'b1': b1,
        'W2': W2,
        'b2': b2,
    }

    return res

4.4 預測

def predict(parameters, X):
    A2, res = forward_propagation(X, parameters)
    predictions = np.round(A2)
    return predictions

4.5 整合與調用

def model(X, Y, n_h, num_iterations, print_cost=False):

    layer_size = init_layer_size(X, Y)

    # 注意layer_size的參數的位置
    n_x = layer_size[0]
    n_y = layer_size[1]

    parameters = initialize_parameters(n_x, n_y, n_h)
    W1 = parameters['W1']
    b2 = parameters['b2']
    W1 = parameters['W1']
    b2 = parameters['b2']

    for i in range(num_iterations):
        A2, res_4_forward_propagation = forward_propagation(X, parameters)
        costs = compute_cost(A2, Y)
        res_4_background_propagation = background_propagation(parameters, res_4_forward_propagation, X, Y)
        parameters = update_parameters(parameters, res_4_background_propagation, learning_rate=0.5)

        if print_cost:
            if i % 1000 == 0:
                print('第', i, '次循環，成本爲：' + str(costs))

    return parameters
    
parameters = model(X, Y, n_h=4, num_iterations=10000, print_cost=True)

4.6 繪製結果

#繪製邊界
planar_utils.plot_decision_boundary(lambda x: predict(parameters, x.T), X, Y)
plt.title("Decision Boundary for hidden layer size " + str(4))

predictions = predict(parameters, X)
print('準確率: %d' % float((np.dot(Y, predictions.T) + np.dot(1 - Y, 1 - predictions.T)) / float(Y.size) * 100) + '%')
plt.show()

X, Y = planar_utils.load_planar_dataset()


plt.scatter(X[0, :], X[1, :], c=np.squeeze(Y), s=40, cmap=plt.cm.Spectral) #繪製散點圖
plt.show()

輸出：

第 0 次循環，成本爲：0.6931125167719424
第 1000 次循環，成本爲：0.3018260619349989
第 2000 次循環，成本爲：0.28671239842926227
第 3000 次循環，成本爲：0.27867697737583497
第 4000 次循環，成本爲：0.2733112974222824
第 5000 次循環，成本爲：0.26926236471810167
第 6000 次循環，成本爲：0.2659462203243697
第 7000 次循環，成本爲：0.26305193251429543
第 8000 次循環，成本爲：0.2603753013304441
第 9000 次循環，成本爲：0.25760866918830294
準確率: 90%

五、參考資料

• 【中文】【吳恩達課後編程作業】Course 1 - 神經網絡和深度學習 - 第三週作業
• Markdown中Latex 數學公式基本語法