用动态规划算法解决矩阵连乘问题

对一系列的矩阵进行乘法运算，求最佳的运算结合顺序，使得所需的乘法总次数最少。

我们知道，矩阵连乘满足结合律，如对于四个矩阵相乘 ABCD，有

ABCD = (ABC)D = (AB)(CD) = A(BCD) = ...

但是结合顺序不同，所需要的乘法总次数也就不同，如对于三个矩阵连乘 A[10*30] * B[30*5] * C[5*60]，有两种结合顺序，每种结合顺序所需的乘法总次数如下：

(AB)C = (10×30×5) + (10×5×60) = 1500 + 3000 = 4500 次 A(BC) = (30×5×60) + (10×30×60) = 9000 + 18000 = 27000 次

不难看出第一种结构顺序的乘法总次数比第二种的少得多。

现给定一维数组 p[]，用于表示系列矩阵的行列数，第 i 个矩阵的行列数为 p[i-1]*p[i]，试编程计算所需的最少乘法总次数是多少。如

  Input: p[] = {40, 20, 30, 10, 30}   
四个矩阵的维数分别为 40x20, 20x30, 30x10 and 10x30
  Output: 26000  
最优结合顺序为 (A(BC))D --> 20*30*10 + 40*20*10 + 40*10*30

Input: p[] = {10, 20, 30, 40, 30} 
  Output: 30000 
((AB)C)D --> 10*20*30 + 10*30*40 + 10*40*30

Input: p[] = {10, 20, 30}  
  Output: 6000  
There are only two matrices of dimensions 10x20 and 20x30. So there 
  is only one way to multiply the matrices, cost of which is 10*20*30

分析：求最优结合顺序，其实就是找出最优的加括号顺序。最简单的办法就是在所有可能的地方加括号，计算每种加括号的顺序所需的乘法次