二分查找說“簡單”又“不簡單”

二分查找也叫折半查找，學過的人都會說二分查找思路很簡單，可以使用模板，是有規律可循的，事實確實是這樣的，也就是所謂的“簡單”，但是它真的“簡單”嗎？

爲什麼又說二分查找“不簡單”？二分查找“不簡單”在查找的邊界控制、循環控制，深入細節，比如while循環中條件是否應該帶等號，mid 是否應該加一等等，這都需要去思考和測試才能找到答案，細節是魔鬼！

1.二分查找算法

爲什麼叫做二分查找？顧名思義需要“二分”，也就是將有序的數據分成兩部分來完成查找。

使用前提

• 必須爲順序存儲
• 存儲在數組中（鏈表不可以）

Tips:至於數組順序遞增排列還是遞減排列，數組中是否存在相同的元素都不要緊。不過一般情況，還是希望並假設數組是遞增排列，數組中的元素互不相同。

原理

• 將有序數組分爲三部分：左部分，中間值mid，右部分，即定義邊界left與right，計算mid
• 首先將要查找的目標值target與中間值進行對比，由於是有序數組，就會有三種比較結果：
  1.mid==target，如果是查找target，可以直接返回索引mid；
  2.mid<target，說明target存在於右區間，縮小區間至右區間
  3.mid>target，說明target存在於左區間，縮小區間至左區間
• 依次遞歸，直到查找到target或者不存在target
  

2.二分查找模板

非遞歸模板

public int binarySearch(int[] nums,int target){
	int left = 0, right = nums.length - 1; // 注意
        while(left <= right) { // 注意
            int mid = left + (right - left) / 2; // 注意
            if(nums[mid] == target) { // 注意
                // 相關邏輯
                return mid;
            } else if(nums[mid] < target) {// 右區間查找
                left = mid + 1; 
            } else {       //左區間查找
                right = mid - 1; // 注意
            }
        }
        // 相關返回值
        return -1;
}

遞歸模板

public int binarySearch(int[] nums,int target,int left,int right) {
		if(left > right) //遞歸終止條件
			return -1;
		int mid = left + (right-left)/2;
		if(nums[mid] == target) //遞歸終止條件
			return mid;
		else if(nums[mid] > target) //查找左區間
			return binarySearch(nums, target, left, mid-1);
		else					//查找右區間
			return binarySearch(nums, target, mid+1, right);
	}

Tips：計算 mid 時需要技巧防止溢出，建議寫成: mid = left + (right - left) / 2；
如果right-left也有可能涉及到溢出的時候，使用mid=(left+right)>>>1（無符號右移）
查找不到的數據均返回了-1，可以根據具體題意進行修改

3.二分查找細節

思路很簡單，細節是魔鬼。

使用場景

• 有序數組中查找一個數（存在或不存在） 35. 搜索插入位置
• 有序數組中查找邊界（左邊界或右邊界），也就是說在有序數組中找到“正好大於（小於）目標數”的那個數 278. 第一個錯誤的版本
• 有序數組中查找區域，假如存在重複數據，而數組依然有序，那麼還是可以用二分查找法判別目標數是否存在，希望知道目標值有多少個，也就是目標值所存在的區域 34. 在排序數組中查找元素的第一個和最後一個位置
• 將有序數組通過旋轉得到的數組，也就是“輪轉後的有序數組（Rotated Sorted Array）”，依舊可以使用二分查找，例如：｛6,9,10,12,0,2,3,4｝33. 搜索旋轉排序數組

Tips：超鏈接均是LeetCode中二分查找所對應的使用場景，可以根據具體的題目來深入學習和理解

while循環條件

拿非遞歸模板來說，循環條件是由left與right邊界的確定而確定的，循環條件指的是while語句中的判斷條件，有兩種可能：

• int left = 0 ; right = nums.length;對應的循環條件是while(left < right)
  定義了right=nums.length，實際上nums[nums.length]這個值是不存在的，所以這個區間可以理解爲一個左閉右開的區間 [left，right)，把這個區間叫做 搜索區間；
  當使用二分查找的時候，當查找不到目標值的時候while條件應該停止進行返回， 那什麼時候查找不到目標值呢？ 當搜索區間爲空的時候，也就是說沒有符合要求的數據來進行遍歷查找了， 搜索空間又何時爲空？
  while(left < right)的終止條件是 left == right，寫成區間的形式爲 [right，right)，若right=6，搜索區間爲[6，6),即搜索區間是空的，即沒有數據可以查找進行返回，證明while條件是正確的。
  如果循環條件寫成while(left <= right)呢？終止條件是left=right+1,搜索區間爲[right+1，right)，轉換爲(right,right+1],此時帶入right=6，搜索區間爲(6，7]，此時搜索區間不爲空，漏掉了數字7，但是while條件卻不成立直接返回，那麼程序自然就出錯了!
• int left = 0 ; right = nums.length - 1;對應的循環條件是while(left <= right)
  定義了right = nums.length-1，這個索引對應的值nums[nums.length-1]是可以取到的，所以搜索區間是一個完全的閉區間[left,right]；
  while(left<=right)對應的終止條件是left=right+1，搜索區間爲[right+1，right]，帶入right=6，搜索區間爲[7，6]，搜索區間爲空，這個區間不存在符合的數據，while循環可以正常終止，程序運行正確！
  如果循環條件寫成while(left < right)呢？終止條件爲right==left，搜索區間爲[right，right]，帶入right=6，搜索區間爲[6，6]，搜索區間不爲空，但是while循環卻終止了，說明漏掉了數字6，程序就可能出現錯誤了！

爲什麼 left = mid + 1，right = mid - 1？

如果使用場景是在有序數組中查找一個數，那麼當發現索引 mid 不是要找的 target 時，如何確定下一步的搜索區間呢？
當然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 對不對？因爲 mid 已經搜索過，應該從搜索區間中去除。

爲什麼 left = mid + 1，right = mid ？

如果使用場景是查詢左側邊界，那麼當nums[mid]==target的時候，並不是第一時間返回mid索引，因爲需要尋找的是左側的邊界，也就是比target小的數據，有可能你所要查找的nums[]中就不存在target，當nums[mid]==target的時候，接下來的搜索區間是什麼呢？
一定是[left，mid]與[mid+1，right]，因爲根據題意無法去排除掉mid！

Tips:同理，如果使用場景是查詢右側邊界，應該是left=mid，right=mid-1，對應搜索區間爲[left，mid-1]與[mid，right]

二分查找查詢右邊界

//二分查找查詢右邊界
public int binarySearchRight(int[] nums,int target){
	int left = 0, right = nums.length - 1; // 閉區間
        while(left <= right) { // 邊界決定循環條件
            int mid = left + (right - left) / 2; // 防止整型溢出
            if(nums[mid] > target) { // 左區間查找
                // 相關邏輯
                right = mid;
            } else  // 右區間查找
                left = mid + 1; 
        }
        // 相關返回值
        return left;//返回left與right均可
}

Tips：查詢左邊界或右邊界實現都是找嚴格界限，也就是要大於或者小於。如果要找鬆散界限，也就是找到大於等於或者小於等於的值（即包含自身），只需要稍作修改即可

在與中間值的比較中加上等號：

nums[mid] > target 改爲 nums[mid] >= target

爲什麼最後返回 left 而不是 right？

返回left和right都是一樣的，因爲 while 終止的條件是 left == right

4.小小總結

二分查找法的缺陷

二分查找法的O(log n)讓它成爲十分高效的算法。不過它的缺陷卻也是那麼明顯的。就在它的限定之上：
必須有序，我們很難保證使用的數組都是有序的。當然可以在構建數組的時候進行排序，可是又落到了第二個瓶頸上：必須是數組數組讀取效率是O(1)，可是它的插入和刪除某個元素的效率卻是O(n)。因而導致構建有序數組變成低效的事情。
解決這些缺陷問題更好的方法應該是使用二分搜索樹了，最好自然是自平衡二叉查找樹了，自能高效的（O(nlogn)）構建有序元素集合，又能如同二分查找法一樣快速（O(logn)）的搜尋目標數。

小小建議

二分查找模板需要記憶，其中提到了幾道典型的LeetCode，熟悉使用場景，把握每個場景所對應細節，多思考再回來看，二分查找就可以說“簡單”了！