二分查找说“简单”又“不简单”

二分查找也叫折半查找，学过的人都会说二分查找思路很简单，可以使用模板，是有规律可循的，事实确实是这样的，也就是所谓的“简单”，但是它真的“简单”吗？

为什么又说二分查找“不简单”？二分查找“不简单”在查找的边界控制、循环控制，深入细节，比如while循环中条件是否应该带等号，mid 是否应该加一等等，这都需要去思考和测试才能找到答案，细节是魔鬼！

1.二分查找算法

为什么叫做二分查找？顾名思义需要“二分”，也就是将有序的数据分成两部分来完成查找。

使用前提

• 必须为顺序存储
• 存储在数组中（链表不可以）

Tips:至于数组顺序递增排列还是递减排列，数组中是否存在相同的元素都不要紧。不过一般情况，还是希望并假设数组是递增排列，数组中的元素互不相同。

原理

• 将有序数组分为三部分：左部分，中间值mid，右部分，即定义边界left与right，计算mid
• 首先将要查找的目标值target与中间值进行对比，由于是有序数组，就会有三种比较结果：
  1.mid==target，如果是查找target，可以直接返回索引mid；
  2.mid<target，说明target存在于右区间，缩小区间至右区间
  3.mid>target，说明target存在于左区间，缩小区间至左区间
• 依次递归，直到查找到target或者不存在target
  

2.二分查找模板

非递归模板

public int binarySearch(int[] nums,int target){
	int left = 0, right = nums.length - 1; // 注意
        while(left <= right) { // 注意
            int mid = left + (right - left) / 2; // 注意
            if(nums[mid] == target) { // 注意
                // 相关逻辑
                return mid;
            } else if(nums[mid] < target) {// 右区间查找
                left = mid + 1; 
            } else {       //左区间查找
                right = mid - 1; // 注意
            }
        }
        // 相关返回值
        return -1;
}

递归模板

public int binarySearch(int[] nums,int target,int left,int right) {
		if(left > right) //递归终止条件
			return -1;
		int mid = left + (right-left)/2;
		if(nums[mid] == target) //递归终止条件
			return mid;
		else if(nums[mid] > target) //查找左区间
			return binarySearch(nums, target, left, mid-1);
		else					//查找右区间
			return binarySearch(nums, target, mid+1, right);
	}

Tips：计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成: mid = left + (right - left) / 2；
如果right-left也有可能涉及到溢出的时候，使用mid=(left+right)>>>1（无符号右移）
查找不到的数据均返回了-1，可以根据具体题意进行修改

3.二分查找细节

思路很简单，细节是魔鬼。

使用场景

• 有序数组中查找一个数（存在或不存在） 35. 搜索插入位置
• 有序数组中查找边界（左边界或右边界），也就是说在有序数组中找到“正好大于（小于）目标数”的那个数 278. 第一个错误的版本
• 有序数组中查找区域，假如存在重复数据，而数组依然有序，那么还是可以用二分查找法判别目标数是否存在，希望知道目标值有多少个，也就是目标值所存在的区域 34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置
• 将有序数组通过旋转得到的数组，也就是“轮转后的有序数组（Rotated Sorted Array）”，依旧可以使用二分查找，例如：｛6,9,10,12,0,2,3,4｝33. 搜索旋转排序数组

Tips：超链接均是LeetCode中二分查找所对应的使用场景，可以根据具体的题目来深入学习和理解

while循环条件

拿非递归模板来说，循环条件是由left与right边界的确定而确定的，循环条件指的是while语句中的判断条件，有两种可能：

• int left = 0 ; right = nums.length;对应的循环条件是while(left < right)
  定义了right=nums.length，实际上nums[nums.length]这个值是不存在的，所以这个区间可以理解为一个左闭右开的区间 [left，right)，把这个区间叫做 搜索区间；
  当使用二分查找的时候，当查找不到目标值的时候while条件应该停止进行返回， 那什么时候查找不到目标值呢？ 当搜索区间为空的时候，也就是说没有符合要求的数据来进行遍历查找了， 搜索空间又何时为空？
  while(left < right)的终止条件是 left == right，写成区间的形式为 [right，right)，若right=6，搜索区间为[6，6),即搜索区间是空的，即没有数据可以查找进行返回，证明while条件是正确的。
  如果循环条件写成while(left <= right)呢？终止条件是left=right+1,搜索区间为[right+1，right)，转换为(right,right+1],此时带入right=6，搜索区间为(6，7]，此时搜索区间不为空，漏掉了数字7，但是while条件却不成立直接返回，那么程序自然就出错了!
• int left = 0 ; right = nums.length - 1;对应的循环条件是while(left <= right)
  定义了right = nums.length-1，这个索引对应的值nums[nums.length-1]是可以取到的，所以搜索区间是一个完全的闭区间[left,right]；
  while(left<=right)对应的终止条件是left=right+1，搜索区间为[right+1，right]，带入right=6，搜索区间为[7，6]，搜索区间为空，这个区间不存在符合的数据，while循环可以正常终止，程序运行正确！
  如果循环条件写成while(left < right)呢？终止条件为right==left，搜索区间为[right，right]，带入right=6，搜索区间为[6，6]，搜索区间不为空，但是while循环却终止了，说明漏掉了数字6，程序就可能出现错误了！

为什么 left = mid + 1，right = mid - 1？

如果使用场景是在有序数组中查找一个数，那么当发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索区间呢？
当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [mid + 1, right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。

为什么 left = mid + 1，right = mid ？

如果使用场景是查询左侧边界，那么当nums[mid]==target的时候，并不是第一时间返回mid索引，因为需要寻找的是左侧的边界，也就是比target小的数据，有可能你所要查找的nums[]中就不存在target，当nums[mid]==target的时候，接下来的搜索区间是什么呢？
一定是[left，mid]与[mid+1，right]，因为根据题意无法去排除掉mid！

Tips:同理，如果使用场景是查询右侧边界，应该是left=mid，right=mid-1，对应搜索区间为[left，mid-1]与[mid，right]

二分查找查询右边界

//二分查找查询右边界
public int binarySearchRight(int[] nums,int target){
	int left = 0, right = nums.length - 1; // 闭区间
        while(left <= right) { // 边界决定循环条件
            int mid = left + (right - left) / 2; // 防止整型溢出
            if(nums[mid] > target) { // 左区间查找
                // 相关逻辑
                right = mid;
            } else  // 右区间查找
                left = mid + 1; 
        }
        // 相关返回值
        return left;//返回left与right均可
}

Tips：查询左边界或右边界实现都是找严格界限，也就是要大于或者小于。如果要找松散界限，也就是找到大于等于或者小于等于的值（即包含自身），只需要稍作修改即可

在与中间值的比较中加上等号：

nums[mid] > target 改为 nums[mid] >= target

为什么最后返回 left 而不是 right？

返回left和right都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right

4.小小总结

二分查找法的缺陷

二分查找法的O(log n)让它成为十分高效的算法。不过它的缺陷却也是那么明显的。就在它的限定之上：
必须有序，我们很难保证使用的数组都是有序的。当然可以在构建数组的时候进行排序，可是又落到了第二个瓶颈上：必须是数组数组读取效率是O(1)，可是它的插入和删除某个元素的效率却是O(n)。因而导致构建有序数组变成低效的事情。
解决这些缺陷问题更好的方法应该是使用二分搜索树了，最好自然是自平衡二叉查找树了，自能高效的（O(nlogn)）构建有序元素集合，又能如同二分查找法一样快速（O(logn)）的搜寻目标数。

小小建议

二分查找模板需要记忆，其中提到了几道典型的LeetCode，熟悉使用场景，把握每个场景所对应细节，多思考再回来看，二分查找就可以说“简单”了！