引用網址 https://www.cnblogs.com/jason2003/p/9797750.html
這個說的挺易懂，如下是原文，留個筆記
我們把證明分爲兩步驟：
1、證明gcd(a,b)是b,a%b的一個公約數
2、證明這個公約數是最大的。
1、我們設gcd(a,b)=d，再令a=k1*d,b=k2*d.
我們再設，a=k*b+c（也就是a除以b商k餘c），那麼c就是餘數，也就是a%b.
講上面那個式子移項，得到c=a-k*b，然後再把a=k1*d,b=k2*d，這兩個式子裏的a、b帶入式子，得到:
c=k1*d-k*k2*d,在提取公因數d，得到c=(k1-k*k2)*d.這樣就說明，c，也就是a%b有d這個約數，因爲開始我們設b也有d這個約數，所以gcd(a,b)是b，a%b的一個公約數。
2、現在知道了它是一個公約數，那麼怎麼證它是最大的？（其實感性分析，a%b都變小了，公約數不可能更大呀！）
但是~~術~~ 數學是一門嚴謹的學科，我們要嚴謹證明。我們知道，c（a%b）=（k1-k*k2）*d,b=k2*d，我們只需要證明k1-k*k2、k2互質就好了。
這裏可以用到反證法：我們假設k1-k*k2=q*t,k2=p*t,並且t>1（也就是那兩個不互質）。
我們將前面那個式子移項，得到k1=q*t+k*k2,再把這個k1代到最開始的a=k1*d，得到a=（q*t+k*k2）*d，再利用乘法分配律，得到：
a=q*t*d+k*k2*d，我們這時發現，k2*d不就是最開始的b嗎？，將其帶入，得到：a=q*t*d+b*d.
這時，我們再把k2=p*t代入開始的b=k2*d,得到b=p*t*d，再把這個式子代到a=q*t*d+b*d.得到了：a=q*t*d+p*t*d.提取公因數：a=(q+p)*t*d
現在，再和b=p*t*d比較，發現他們的最大公因數變成了t*d和開始矛盾，所以假設不成立，反證成功！
過程圖可參考，還有動圖非常直觀
https://www.sohu.com/a/314655845_250298
歐幾里德算法計算過程：
a%b = c
b%c = d
c%d = e
…
g%h =0
h 即爲最大公約數
a和b的餘數 a %b
即 a%b = a - k * b
如果a%b （即c）可以被b整除，那麼，它肯定也可以被 a-c （即a-a%b ）整除 ，如果不能整除則繼續
依次類推：
如果b%c （即 d）可以被c整除，那麼，它肯定也可以被 b-d （即b-b%c ）整除 ，如果不能整除則繼續。
餘數爲0時即爲剛好整除。（至少mod1的時候可以是0）