一、欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个正整 a，b的最大公约数。
定理：gcd(a,b) = gcd(b,a%b) 。代码实现如下：
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll gcd(ll m,ll n)
{
if(n==0)
return m;
return gcd(n,m%n);
}
int main()
{
ll m,n;
ll x;
while(scanf("%lld %lld",&m,&n)!=EOF)
{
x=gcd(m,n);
printf("%lld\n",x);
}
return 0;
}
二、扩展欧几里德：ax+by=c
x=x0+b/gcd(a,b)*t;
y=y0+a/gcd(a,b)*t;
由ax+by=gcd(a,b) gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
- ax+by=gcd(b,a%b)=bx0+(a%b)y0 a%b=a-a/b*b
- ax+by=ay0+b*(x0-a/b*y0)
- 所以可得出：x=y0 y=x0-a/b*y0
- 扩展欧几里得最大的用法就是求x,y的最小正整数解。为了求x,y的最小正整数解首先求得是 ax+by=gcd(a,b)的解。求出的x,y乘以c/gcd(a,b)。这就是ax+by=c的解而要想求最小正整数解就要看此通解公式x=x0+b/gcd(a,b)*t.其中x0=x*c/gcd;要想求最小正整数解那么就是 x=x0+b/gcd(a,b)*t两边同时对b/gcd(a,b)取余此时在加工一下就是x=（x%(b/gcd)+(b/gcd)）%(b/gcd)。
代码如下：
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll gcd(ll m,ll n)
{
if(n==0)
return m;
return gcd(n,m%n);
}
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){//求扩展欧几里得中ax+by=gcd(a,b)的解
if(!b){
x=1;
y=0;
return a;
}
ll ans=exgcd(b,a%b,x,y);
ll temp=x;
x=y;
y=temp-a/b*y;
return ans;
}
ll cal(ll a,ll b,ll c)//求扩展欧几里德最小正整数解
{
ll x,y;
ll gcd=exgcd(a,b,x,y);
if(c%gcd!=0)
return -1;
x*=c/gcd;
b/=gcd;
return (x%b+b)%b;
}
int main()
{
ll a,b;
ll c;
ll x,y;
ll x0,y0;
while(scanf("%lld %lld %lld",&a,&b,&c)!=EOF)
{
gcd1=exgcd(a,b,x,y);//此时求出来的解是ax+by=gcd(a,b)的解
x=cal(a,b,c);
y=(c-b*y)/a;
printf("%lld %lld\n",x,y);
}
return 0;
}
三.1、同余定理：
给定正整数m，a/m与b/m所得余数相同，称a、b同余。
a≡b(mod m),存在整数k，使a=b+km;
a+-*c≡b+-*c（mod m）可以转化为扩展欧几里德
代码如下：
四、逆元
对于正整数a和m，如果有ax≡1(mod m)，那么把这个同余方程中x的最小正整数解叫做a模m的逆元。
1、扩展欧几里德求逆元：由同余定理 ax≡1(mod m)可化为
ax=1+km ax-km=1
可直接用扩展欧几里德求出a的逆元x
2、费马小定理求逆元（当m为素数时）：ax≡1(mod m) --> x=
推导过程：
五、一元线性同余方程
定义：形如ax≡b(mod m), 且x是未知整数的同余式称为一元线性同余方程。
定理：a,b,m是整数且m>0，gcd（a，m）=d，如果d|b（‘|’的意思为整除即b%d==0）,则方程恰有d个模m不同余的解否则方程无解。
可以直接用扩展欧几里德求
ll f()
{
//ax≡b(mod m)
ll a,b,m;
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
ll x,y;
ll d=exgcd(a,m,x,y);
if(b%d)
return -1;
x=x*(b/d)%m;
for(int i=0;i<d;i++)
printf("%lld ",(x+i*m/d)%m);
}
六、线性同余方程组
X≡r1(mod a1)
X≡r2 (mod a2)
X≡r3 (mod a3)
………………
X≡rn (mod an)
X=r1+a1*x
X=r2+a2*y
a1*x-a*2y=r2-r1
由扩展欧几里得通解x=x0+a2/gcd*t
带回原式 X=r1+a1*x0+a1*a2/gcd*t
由同余定理可知X≡r1+a1*x0 (mod a1*a2/gcd)
然后再令r1=r1+a1*x0
a1=a1*a2/gcd
可将X化为X≡r1 (mod a1)
然后再与后几项依次合并就可得出X。
ll f(){
//ax≡b(mod m)
ll a,b,m;
scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
ll x,y;
ll d=exgcd(a,m,x,y);
if(b%d)
return -1;
x=x*(b/d)%m;
for(int i=0;i<d;i++)
printf("%lld ",(x+i*m/d)%m);
}
七、中国剩余定理
当线性同余方程组中的m1、m2、m3..mn两两互素时,则线性同余方程组
X≡a1(mod m1)
X≡a2 (mod m2)
X≡a3 (mod m3)
………………
X≡an (mod mn)
有模M=m1*m2*m3..*mn的唯一解。
Mi=M/mi
a1*M1*p1+a2*M2*p2+a3*M3*p3+..+an*Mn*pn就是同余方程组的解
ll China()
{
int n;
ll M=1,a[1005],m[1005];
ll Mi,x0,y0,ans=0,d;
scanf("%d",&n);
for(int i=0;i<n;i++)
scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
for(int i=0;i<n;i++)
M*=m[i];
for(int i=0;i<n;i++)
{
Mi=M/m[i];
d=exgcd(Mi,m[i],x0,y0);
ans=(ans+Mi*x0*a[i])%M;
}
return (ans+M)%M;
}