反射矩陣的推導

前幾天寫了一篇unity官方例子的鏡面反射的博文(鏈接：http://blog.csdn.net/lj820348789/article/details/48139841)，其中的攝像機鏡面矩陣只是提示了官方代碼的位置，對於反射矩陣，已經有許多相關的文摘，所以我也不說這是原創，只是自己的一番重新推導，也相當於是做個讀書筆記。

我們先來看看代碼裏的反射矩陣時怎麼樣的：

static Matrix4x4 CalculateReflectionMatrix (Matrix4x4 reflectionMat, Vector4 plane) 
{
reflectionMat.m00 = (1.0F - 2.0F*plane[0]*plane[0]);
        reflectionMat.m01 = (   - 2.0F*plane[0]*plane[1]);
        reflectionMat.m02 = (   - 2.0F*plane[0]*plane[2]);
        reflectionMat.m03 = (   - 2.0F*plane[3]*plane[0]);
    
        reflectionMat.m10 = (   - 2.0F*plane[1]*plane[0]);
        reflectionMat.m11 = (1.0F - 2.0F*plane[1]*plane[1]);
        reflectionMat.m12 = (   - 2.0F*plane[1]*plane[2]);
        reflectionMat.m13 = (   - 2.0F*plane[3]*plane[1]);
    
        reflectionMat.m20 = (   - 2.0F*plane[2]*plane[0]);
        reflectionMat.m21 = (   - 2.0F*plane[2]*plane[1]);
        reflectionMat.m22 = (1.0F - 2.0F*plane[2]*plane[2]);
        reflectionMat.m23 = (   - 2.0F*plane[3]*plane[2]);
    
        reflectionMat.m30 = 0.0F;
        reflectionMat.m31 = 0.0F;
        reflectionMat.m32 = 0.0F;
        reflectionMat.m33 = 1.0F;
           
        return reflectionMat;

}

plane表示反射鏡面的平面方程組的abcd（ax + by + cz + d = 0,abc分別表示平面法向量的xyz軸上的分量）。

上面的代碼表示了這樣的一個矩陣：

先求出點v(x, y, z)在平面上的距離:

    設平面上存在點v0(x0, y0, z0),空間中存在的點v(x, y, z), v的鏡像點v1(x1, y1, z1),則有v - v0 = (x - x0, y - y0, z - z0),而平面的法向量爲n(a, b, c),則有點v到平面的距離爲dis = (v - v0)n = nv - nv0;v0滿足平面方程，由平面方程nv0 + d = 0可知nv0 = -d.於是dis = n·v+d.

得到距離後，並且又有平面法向量，所以鏡像點的位置爲

v1 = -2n*dis+v; 

v1=-2n*(n·v+d)+v;

(x1, y1, z1) = (x, y, z) - 2n(nx*x + ny*y + nz*z + d)   //nx,ny,nx爲n的xyz分量

於是就有：

x1 = x - 2n(nx*x+ ny*y + nz*z) -2nd;

y1 = y - 2n(nx*x+ ny*y + nz*z) -2nd;
z1 = z - 2n(nx*x+ ny*y + nz*z) -2nd;

就得到上面的矩陣了

y1 = y - 2n(nx*x+ ny*y + nz*z) -2nd;