向量點積的另一種幾何含義

〇、背景：$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$的幾何含義是什麼

給定向量$\vec a, \vec b$，夾角是$\theta$（如下圖），我們都知道，向量$\vec a$和向量$\vec b$的點積公式是
$\vec a \cdot \vec b=\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$

其幾何含義就是將$\vec b$投影到向量$\vec a$上，得到一段投影線段的長度$\|\vec b\|\cos{\theta}$，然後再和$\vec a$的長度$\|\vec a\|$相乘，得到$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$。

但是$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$的幾何含義又是什麼呢？

有人說，如果$\vec a$的是單位向量，即$\|\vec a\|$=1，那麼點積$\vec a \cdot \vec b$的結果就等於這段投影的長度，這種情況下，幾何含義是很明確的。不過，對於一般的$\vec a$如何理解，感覺還是不太清楚。

今天，介紹一個更一般的思路，理解二者的成績。

一、首先，我們先看一種特殊的情況 $\vec a \cdot \vec a$

我們知道$\vec a \cdot \vec a=\|a\|\|a\|\cos{\theta}$，由於向量和自身的夾角爲0，所以
$\vec a \cdot \vec a=\|a\|^2$
如果我們以向量$\vec a$自身長度爲邊長做正方形，那麼向量$\vec a$與自己的點積，結果就等於正方形的面積。

二、然後，我們看另一種特殊的 ($\vec a \cdot \vec b$，$\theta=0$)

如下圖，$\vec b$與$\vec a$方向相同，但是大小不同。令$\|b\|=\lambda \|a\|$， $\lambda \in R$。

這種情況下$\vec a \cdot \vec b=\|a\|\|b\|\cos{\theta}=\|a\|\|b\|$，（因爲$\cos 0^。=1$）

我們可以將$\|a\|\|b\|$可看作是一個矩形的面積，邊長分別爲$\|a\|, \|b\|$。結合上面講到的， 我們可以把這個矩形放置在$\vec a \cdot \vec a$正方形的內部，如下圖橙色區域。

這就有了一個具體的幾何含義。

這個矩形的特點是，有一個邊長和$\vec a \cdot \vec a$的正方形相同，都是$\|a\|$，另一部分隨着向量$\vec b$的改變而改變。整體上看，相當於內積$\vec a \cdot \vec b$的矩形佔據了內積$\vec a \cdot \vec a$正方形的一部分。而所佔比例取決於$\vec b$與$\vec a$長度的比值，這個比值就是$\lambda$。

三、最後我們看一般的情況：$\vec a, \vec b$的夾角$\theta \neq 0$

此時，我們可以將向量$\vec b$分解，得到兩個分向量$\vec b_0, \vec b_{90}$，其中$\vec b_0$和$\vec a$同方向，$\vec b_{90}$和$\vec a$垂直（如下圖）。

因爲：
$\vec b=\vec b_0+\vec b_{90}$
那麼：
$\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot (\vec b_0+\vec b_{90})=\vec a \cdot \vec b_0 + \vec a \cdot \vec b_{90}$

由於$\cos 90^。=0$，所以，$\vec a \cdot \vec b_{90}=0$，那麼
$\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec b_0$

而根據上一節的推理，我們知道$\vec a \cdot \vec b_0$等於一個邊長分別爲$\|a\|$和$\|b_0\|$的矩形的面積，如下圖。

總結

希望，這種根據面積構建的幾何含義能幫助一些人更好地理解內積$\vec a \cdot \vec b$。反正我個人是很長時間沒有弄透。 此外，我個人是覺得這個思路還蠻直接的，應該早就有人想到了，無奈花了半天也沒搜到，只好自己做了一個。