向量点积的另一种几何含义

〇、背景：$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$的几何含义是什么

给定向量$\vec a, \vec b$，夹角是$\theta$（如下图），我们都知道，向量$\vec a$和向量$\vec b$的点积公式是
$\vec a \cdot \vec b=\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$

其几何含义就是将$\vec b$投影到向量$\vec a$上，得到一段投影线段的长度$\|\vec b\|\cos{\theta}$，然后再和$\vec a$的长度$\|\vec a\|$相乘，得到$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$。

但是$\|\vec a\|\|\vec b\|\cos{\theta}$的几何含义又是什么呢？

有人说，如果$\vec a$的是单位向量，即$\|\vec a\|$=1，那么点积$\vec a \cdot \vec b$的结果就等于这段投影的长度，这种情况下，几何含义是很明确的。不过，对于一般的$\vec a$如何理解，感觉还是不太清楚。

今天，介绍一个更一般的思路，理解二者的成绩。

一、首先，我们先看一种特殊的情况 $\vec a \cdot \vec a$

我们知道$\vec a \cdot \vec a=\|a\|\|a\|\cos{\theta}$，由于向量和自身的夹角为0，所以
$\vec a \cdot \vec a=\|a\|^2$
如果我们以向量$\vec a$自身长度为边长做正方形，那么向量$\vec a$与自己的点积，结果就等于正方形的面积。

二、然后，我们看另一种特殊的 ($\vec a \cdot \vec b$，$\theta=0$)

如下图，$\vec b$与$\vec a$方向相同，但是大小不同。令$\|b\|=\lambda \|a\|$， $\lambda \in R$。

这种情况下$\vec a \cdot \vec b=\|a\|\|b\|\cos{\theta}=\|a\|\|b\|$，（因为$\cos 0^。=1$）

我们可以将$\|a\|\|b\|$可看作是一个矩形的面积，边长分别为$\|a\|, \|b\|$。结合上面讲到的， 我们可以把这个矩形放置在$\vec a \cdot \vec a$正方形的内部，如下图橙色区域。

这就有了一个具体的几何含义。

这个矩形的特点是，有一个边长和$\vec a \cdot \vec a$的正方形相同，都是$\|a\|$，另一部分随着向量$\vec b$的改变而改变。整体上看，相当于内积$\vec a \cdot \vec b$的矩形占据了内积$\vec a \cdot \vec a$正方形的一部分。而所占比例取决于$\vec b$与$\vec a$长度的比值，这个比值就是$\lambda$。

三、最后我们看一般的情况：$\vec a, \vec b$的夹角$\theta \neq 0$

此时，我们可以将向量$\vec b$分解，得到两个分向量$\vec b_0, \vec b_{90}$，其中$\vec b_0$和$\vec a$同方向，$\vec b_{90}$和$\vec a$垂直（如下图）。

因为：
$\vec b=\vec b_0+\vec b_{90}$
那么：
$\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot (\vec b_0+\vec b_{90})=\vec a \cdot \vec b_0 + \vec a \cdot \vec b_{90}$

由于$\cos 90^。=0$，所以，$\vec a \cdot \vec b_{90}=0$，那么
$\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec b_0$

而根据上一节的推理，我们知道$\vec a \cdot \vec b_0$等于一个边长分别为$\|a\|$和$\|b_0\|$的矩形的面积，如下图。

总结

希望，这种根据面积构建的几何含义能帮助一些人更好地理解内积$\vec a \cdot \vec b$。反正我个人是很长时间没有弄透。 此外，我个人是觉得这个思路还蛮直接的，应该早就有人想到了，无奈花了半天也没搜到，只好自己做了一个。