LuoguP5327 [ZJOI2019]語言 線段樹合併+樹鏈求並

比較好的一道數據結構題.    

對於 $i$，我們希望求出所有經過 $i$ 號點的路徑所構成的樹鏈之並.    

考慮一個求解樹鏈的並的經典做法就是 $\sum_{i=1}^{n} dep[i]-\sum_{i=2}^{n} dep[LCA(i,i-1)]$.    

這裏要求所有點都要按照 $dfs$ 序排好.  

那麼這道題中我們就基於 DFS 序對每個點建立動態開點線段樹.     

加入一條路徑就是在 $x,y$ 處添加 $(x,y)$，然後在 $fa[lca]$ 處將這 4 個點再都刪掉.    

兒子向父親合併的時候直接用線段樹合併就行.  

pushup 的時候維護：$(s,t,f,si)$ 分別表示區間最靠左/右的節點編號，區間樹鏈之並長度，以及葉節點開的桶.     

用 $RMQ-O(1)$ 求 $LCA$ 可做到 $O(n \log n)$.  

代碼： 

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define N 100009  
#define ll long long
#define pb push_back
#define lson s[x].ls 
#define rson s[x].rs   
#define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin)
using namespace std;
ll ans; 
int n,m,edges,tim,tot;  
vector<int>ADD[N],DEL[N];  
int hd[N],to[N<<1],nex[N<<1],rt[N]; 
int fa[N],dfn[N],seq[20][N<<1],dep[N],Log[N<<1]; 
void add(int u,int v) {
    nex[++edges]=hd[u]; 
    hd[u]=edges,to[edges]=v;  
}    
void dfs(int x,int ff) {
    dep[x]=dep[ff]+1;  
    fa[x]=ff,dfn[x]=++tim,seq[0][tim]=x;     
    for(int i=hd[x];i;i=nex[i]) {
        int y=to[i]; 
        if(y==ff) continue;  
        dfs(y,x);      
        seq[0][++tim]=x;          
    }
}
void RMQ() {
    Log[1]=0; 
    for(int i=2;i<=2*n;++i) {
        Log[i]=Log[i>>1]+1;  
    }
    for(int i=1;(1<<i)<=2*n;++i) {
        for(int j=1;j+(1<<i)-1<=2*n;++j) {
            int x=seq[i-1][j],y=seq[i-1][j+(1<<(i-1))];      
            if(dep[x]<dep[y]) seq[i][j]=x;  
            else seq[i][j]=y;    
        }   
    }
}
int get_lca(int x,int y) { 
    if(!x||!y) {
        return 0;  
    }
    x=dfn[x],y=dfn[y];   
    if(x>y) swap(x,y);  
    int p=Log[y-x+1];     
    return dep[seq[p][x]]<dep[seq[p][y-(1<<p)+1]]?seq[p][x]:seq[p][y-(1<<p)+1];  
}
struct data {
    int ls,rs,si,s,t,f;   
    data() { ls=rs=si=s=t=f=0;}
    int getans() {
        return f-dep[get_lca(s,t)];  
    }
}s[N*80];     
void pushup(int x) {
    s[x].f=s[lson].f+s[rson].f-dep[get_lca(s[lson].t,s[rson].s)];    
    s[x].s=s[lson].s?s[lson].s:s[rson].s;   
    s[x].t=s[rson].t?s[rson].t:s[lson].t;              
} 
void update(int &x,int l,int r,int p,int v) {    
    if(!x) x=++tot;   
    if(l==r) {
        s[x].si+=v;     
        if(s[x].si) {
            s[x].s=s[x].t=seq[0][l];     
            s[x].f=dep[seq[0][l]];     
        }
        else {
            s[x].s=s[x].t=s[x].f=0;   
        }
        return;    
    }
    int mid=(l+r)>>1;   
    if(p<=mid)  {
        update(lson,l,mid,p,v);  
    }
    else {
        update(rson,mid+1,r,p,v); 
    }
    pushup(x);   
}
int merge(int l,int r,int x,int y) {
    if(!x||!y) {
        return x+y;  
    }   
    int now=++tot,mid=(l+r)>>1;    
    if(l==r) {
        s[now].si=s[x].si+s[y].si;   
        s[now].s=s[x].s|s[y].s;   
        s[now].t=s[x].t|s[y].t;  
        s[now].f=s[x].f|s[y].f;   
        return now;        
    }
    s[now].ls=merge(l,mid,s[x].ls,s[y].ls); 
    s[now].rs=merge(mid+1,r,s[x].rs,s[y].rs);  
    pushup(now); 
    return now;    
} 
void solve(int x,int ff) {
    for(int i=hd[x];i;i=nex[i]) {
        int y=to[i]; 
        if(y==ff) continue;  
        solve(y,x);  
        rt[x]=merge(1,n<<1,rt[x],rt[y]);  
    }     
    for(int i=0;i<ADD[x].size();++i) { 
        update(rt[x],1,n<<1,dfn[ADD[x][i]],1);  
    }    
    for(int i=0;i<DEL[x].size();++i) { 
        update(rt[x],1,n<<1,dfn[DEL[x][i]],-1);  
    }    
    ans+=s[rt[x]].getans();   
} 
int main() {
    // setIO("input");
    int x,y,z;   
    scanf("%d%d",&n,&m);  
    for(int i=1;i<n;++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);   
        add(x,y),add(y,x);  
    }
    dfs(1,0),RMQ();   
    for(int i=1;i<=m;++i) {
        scanf("%d%d",&x,&y);   
        int lca=get_lca(x,y);                                    
        ADD[x].pb(x),ADD[x].pb(y);  
        ADD[y].pb(x),ADD[y].pb(y);   
        if(fa[lca]) {
            DEL[fa[lca]].pb(x); 
            DEL[fa[lca]].pb(y);   
            DEL[fa[lca]].pb(x); 
            DEL[fa[lca]].pb(y);  
        }        
    }
    solve(1,0);   
    printf("%lld\n",ans>>1);   
    return 0;
}