基本的二分查找
我們假設數據大小是 n，每次查找後數據都會縮小爲原來的一半，也就是會除以 2。最壞情況下，直到查找區間被縮小爲空，才停止。
可以看出來，這是一個等比數列。其中 n/2k=1 時，k 的值就是總共縮小的次數。而每一次縮小操作只涉及兩個數據的大小比較，所以，經過了 k 次區間縮小操作，時間複雜度就是 O(k)。通過 n/2k=1，我們可以求得 k=log2n，所以時間複雜度就是 O(logn)。
<?php
function bsearch($arr,$n){
$low=0;
$high=count($arr)-1;
//注意邊界
while($low<=$high){
// $mid=intval(($low+$high)/2);
$mid=$low+(($high-$low)>>1);
if($arr[$mid]==$n){
return $mid;
}elseif($n<$arr[$mid]){ //n在 [low，mid-1]
$high=$mid-1;
}else{ //n 在[mid+1,high]
$low=$mid+1;
}
}
return -1;
}
易出錯的三點
1. 循環退出條件
注意是 low<=high，而不是 low實際上，mid=(low+high)/2 這種寫法是有問題的。
因爲如果 low 和 high 比較大的話，兩者之和就有可能會溢出。
改進的方法是將 mid 的計算方式寫成 low+(high-low)/2。
更進一步，如果要將性能優化到極致的話，我們可以將這裏的除以 2 操作轉化成位運算 low+((high-low)>>1)。因爲相比除法運算來說，計算機處理位運算要快得多。
3.low 和 high 的更新
low=mid+1，high=mid-1。 注意這裏的 +1 和 -1，如果直接寫成 low=mid 或者 high=mid，就可能會發生死循環 比如，當 high=3，low=3 時，如果 a[3] 不等於 value，就會導致一直循環不退出遞歸方式實現
//遞歸方式實現
function bsearch_recursion($arr,$n){
return bsearch_recursion_internally($arr,0,count($arr)-1,$n) ;
}
function bsearch_recursion_internally($arr,$low,$high,$n){
if($high<$low){
return -1;
}
$mid=$high-intval(($high-$low)>>1);
if($n==$arr[$mid]){
return $mid;
}
if($n<$arr[$mid]){
return bsearch_recursion_internally($arr,$low,$mid-1,$n);
}else{
return bsearch_recursion_internally($arr,$mid+1,$high,$n);
}
return -1;
}
二分查找應用場景的侷限性
- 1.二分查找依賴的是順序表結構，簡單點說就是數組。
那二分查找能否依賴其他數據結構呢？比如鏈表。
答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下標隨機訪問元，數組按照下標隨機訪問數據的時間複雜度是 O(1)，而鏈表隨機訪問的時間複雜度是 O(n)。
所以，如果數據使用鏈表存儲，二分查找的時間複雜就會變得很高。
二分查找只能用在數據是通過順序表來存儲的數據結構上。如果你的數據是通過其他數據結構存儲的，則無法應用二分查找。
- 2.二分查找針對的是有序數據
- 3.數據量太小不適合二分查找
如果要處理的數據量很小，完全沒有必要用二分查找，順序遍歷就足夠了。
比如我們在一個大小爲 10 的數組中查找一個元素，不管用二分查找還是順序遍歷，查找速度都差不多。只有數據量比較大的時候，二分查找的優勢纔會比較明顯。
不過，這裏有一個例外。如果數據之間的比較操作非常耗時，不管數據量大小，我都推薦使用二分查找。
比如，數組中存儲的都是長度超過 300 的字符串，如此長的兩個字符串之間比對大小，就會非常耗時。我們需要儘可能地減少比較次數，而比較次數的減少會大大提高性能，這個時候二分查找就比順序遍歷更有優勢。
- 4.數據量太大也不適合二分查找
二分查找的底層需要依賴數組這種數據結構，而數組爲了支持隨機訪問的特性，要求內存空間連續，對內存的要求比較苛刻。
比如，我們有 1GB 大小的數據，如果希望用數組來存儲，那就需要 1GB 的連續內存空間
- 1.查找第一個值等於給定值的元素
- 2.查找最後一個值等於給定值的元素
- 3.查找第一個大於等於給定值的元素
- 4.查找最後1個小於等於給定值的元素
變形二分查找
1.查找第一個值等於給定值的元素
關鍵點在於在找到等於的值後，還繼續怎麼找
//第1個等於給定值
function bsearch_first_eq($arr,$value){
$low=0;
$high=count($arr)-1;
while($high>=$low){
$mid=$low+(($high-$low)>>1);
if($arr[$mid]==$value){
//因爲是要找第一個，所以是從mid往前找，
if($mid==0 ||$arr[$mid-1]!=$value){
return $mid;
}
$high=$mid-1;
}else if($arr[$mid]>$value){
$high=$mid-1;
}else{
$low=$mid+1;
}
}
return -1;
}
2.查找最後一個值等於給定值的元素
function bsearch_last_eq($arr,$value){
$low=0;
$high=count($arr)-1;
while($high>=$low){
$mid=$low+(($high-$low)>>1);
if($arr[$mid] ==$value){
//因爲要找最後1個，需要往後找
if($mid == $high || $arr[$mid+1] !=$value){
return $mid;
}
$low=$mid+1;
}elseif($arr[$mid]<$value){
$low=$mid+1;
}else{
$high=$mid-1;
}
}
return -1;
}
3.查找第一個大於等於給定值的元素
function bsearch_first_egt($arr,$value){
$low=0;
$high=count($arr)-1;
while($high>=$low){
$mid=$low+(($high-$low)>>1);
if($arr[$mid]>=$value){
if($mid==0 ||$arr[$mid-1]<$value){
return $mid;
}
$high=$mid-1;
}else{
$low=$mid+1;
}
}
return -1;
}
4.查找最後1個小於等於給定值的元素
function bsearch_last_elt($arr,$value){
$low=0;
$high=count($arr)-1;
while($high>=$low){
$mid=$low+(($high-$low)>>1);
if($arr[$mid]<=$value){
if($mid==$high||$arr[$mid+1]>$value){
return $mid;
}
$low=$mid+1;
}else{
$high=$mid-1;
}
}
return -1;
}