1. Toeplitz矩阵
1.1 定义
Toeplitz（特普利茨）矩阵又称为常对角矩阵，该矩阵每条左上至右下的对角线均为常数。Toeplitz矩阵 为满足以下条件的矩阵：
其一般形式为：
2. 循环矩阵
2.1 定义
循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其列向量/行向量的每个元素都是前一个列向量/行向量个元素循环右移一个位置的结果。循环矩阵
的一般形式为：
若循环矩阵
还满足：
则矩阵
称为对称循环矩阵。
2.2 性质
- 若
为两个循环矩阵，则
都是循环矩阵，且
证明：
![AB = BA]()
- 定义向量
的反转向量为
，其元素序列为原向量
的反转。
则易知以下式子成立：
即两个向量的内积等于它们反转向量的内积。
- 定义向量
的循环右移
个位置（
为负数则表示循环左移
个位置）的向量为
，易知
的反转向量
![\tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}} = \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}}]()
- 易知对于任意整数
，均有以下等式成立：
![(\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i+c}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j+c}{\rightarrow}}_2)]()
- 要证明原命题，易知只需证明：
![(\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1)]()
由以上性质可知：
- 循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵。
3. 分块Toeplitz/循环矩阵
3.1 定义
对于分块矩阵 其中
为子矩阵。如果矩阵
相对于子矩阵元素
构成Toeplitz/循环矩阵，则称矩阵
为分块Toeplitz/循环矩阵。
4. 双重分块 Toeplitz/循环矩阵
对于分块Toeplitz/循环矩阵 ，如果其子矩阵
也是Toeplitz/循环矩阵，则称矩阵
为双重分块Toeplitz/循环矩阵。