確界存在 ⇒ 有限覆蓋
\([a, b]\) 被 \(\{I_\lambda\}\) 覆蓋，對於 \(\forall S \subset \{I_\lambda\}\) 使得 \(S\) 有限，覆蓋 \(a\) （這樣的 \(S\) 總能找到）
定義 \(B = \{y \in [a, b] ~|~ [a, y] 被有限 S \subset I_\lambda 覆蓋\}\) \(B\) 有界，故有上確界。
下證 \(b = \sup B\) 。
反證法：設上確界爲 \(y_0 < b\) ，則 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \(y_0 \in I_{\lambda_0}\) 。
故 \(\exist \varepsilon_0\) 使得 \((y_0 - \varepsilon_0, y_0 + \varepsilon_0) \subset I_{\lambda_0}\) 。
\(\because\) \(y_0\) 是上確界則 \(\exist y \in B\) 使 \(y_0 - y < \frac {\varepsilon_0}{2}\)
\(\therefore\) \(\exist\) 有限 \(S\) 覆蓋 \([a, y_0]\) 則 \(S \cup I_{\lambda_0}\) 覆蓋 \([a, y_0 + \frac{\varepsilon_0} 2 ]\)
\(\therefore\) \(b\) 爲上確界 則 \(\exist I_{\lambda_0}\) 使得 \((b - \varepsilon, b + \varepsilon) \subset I_{\lambda_0}\)
\(\exist S'\) 覆蓋 \([a, y_0]\) 有 \([a, b] \subset S' \cup \{I_{\lambda_0}\}\) 。
問題1.9 B-W ⇒ 有限覆蓋
問題 1.8.5 閉區間套 ⇒ B-W
設 \(\{x_0\} \subset [a, b]\) 二分 \([a, b]\) 取包含無限 \(\{x_n\}\) 的一半爲 \([a_1, b_1]\) 令某個 \(x_{n_1} \in [a_1, b_1]\) 再二分 \([a_1, b_1]\) 。
由此得到一列 \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset \cdots \supset [a_k, b_k] \supset \cdots\) 以及 \(\{x_{n_k}\}\) 使得 \(x_{n_k} \in [a_k, b_k]\) 則 \(\exist\) 唯一 \(x \in [a_k, b_k]\)
有 \(0 \le |x_{n_k} - x| < b_k - a_k\) \(\therefore \lim_{k \to \infty} (x_{n_k} - x) = 0\)
有限覆蓋 ⇒ 閉區間套
設 \([a_1, b_1] \supset \cdots \supset [a_n, b_n] \supset \cdots\) 且 \(\lim_{n \to \infty} |b_n - a_n| = 0\) 假設 \(\bigcap_{n=1}^\infty [a_n, b_n] = \empty\)
構造 \((a_1 - \varepsilon, a_n)\) 和 \((b_n, b_1 + \varepsilon)\) 由假設 \(\forall x \in [a_1, b_1]\) ，
\(\exist n\) 使得 \(x \notin [a_n, b_n]\) 則 \(x < a_n \Rightarrow x \in(a_1 - \varepsilon, a_n)\) 或 \(x > b_n \Rightarrow x \in (b_n, b_1 + \varepsilon)\)
故爲 \([a_1, b_1]\) 的開覆蓋，則存在有限子覆蓋。
\(\therefore\) 可設爲 \((a_1 - \varepsilon, a_{i_1}), (a_2 - \varepsilon, a_{i_2}), \dots, (a_1 - \varepsilon, a_{i_k})\) 和 \((b_{j_1}, b_1 + \varepsilon), \dots, (b_{j_l}, b_1 + \varepsilon)\)
取 \(n > \max\{i_1, \dots, i_k, b_{j_1}, \dots, b_{j_k}\}\)
則 \(a_n, b_n\) 也能被覆蓋 但 \(a_n \ge a_{i_1}, \dots, a_{i_k}\) 與 \(b_n \le b_{j_1}, \dots, b_{j_l}\) 不能被覆蓋。 矛盾。
有限覆蓋 ⇒ 確界存在
反證法。設 \(S\) 有上界 \(a\) 且 \(S \notin \empty\) 但無上確界，取 \(x \in S\) 則 \(x \le a\) 考慮 \([x, a]\) \(\forall y \in [x, a]\) 構建開區間。
當 \(y\) 爲上界，由假設 \(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 \(y - \varepsilon_y\) 也是上界。
令 \(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\) ，當 \(y\) 不是上界的時，\(\exist \varepsilon > 0\) 使得 \(y + \varepsilon\) 也不是上界。
當 \(y\) 爲上界，\(\exist \varepsilon_y > 0\) 使得 使得 \(y + \varepsilon_y\) 也不是上界。
令 \(U_y = (y - \varepsilon_y, y + \varepsilon_y)\)
\(\therefore \{U_y ~|~ y \in [x, a]\}\) 爲 \([x, a]\) 的開覆蓋
\(\therefore\) 有限子覆蓋 \((a_1, b_1), \dots, (a_n, b_n)\)
取所有是上界的 \(a_i\) 令其最小值爲 \(a_{i_0}\) ，則 \(a_{i_0}\) 爲上界，\(a_{i_0} - \varepsilon\) 無法被 \(\{(a_i, b_i)|i爲上界\}\) 覆蓋，則 \(\exist (a_j, b_j)\) 覆蓋
\(a_{i_0} - \varepsilon\) 而 \(a_i\) 不是上界，由構造 \(b_j\) 不是上界與 \(a_{i_0} - \varepsilon < b_j\) 矛盾。
Cauchy收斂 ⇒ 閉區間套
\(\forall \varepsilon > 0, \exist N \in \mathbb N^+\) 使得 \(b_N - a_N < \varepsilon\)
\(\forall m, n > N, a_m a_n \in [a_N, b_N]\) 則 \(|a_m - a_n| < \varepsilon\) ，則 \(\{a_n\}\) 是 \(\text{Cauchy}\) 列 \(\exist\) 極限
同理 \(\lim_{n \to \infty} b_n\) 存在 且 \(= \lim_{n \to \infty} a_n\) 則 \(\{a_n\}\) 遞增 \(\lim_{n \to \infty} a_n \ge a_n\) 同理 \(\le b_n\) 故 \(\in [a_n, b_n]\) 。
唯一性 假設 \(a < a'\) 均爲極限，則 \([a, a'] \subseteq [a_n, b_n]\) \(\lim_{n \to \infty}(b_n - a_n) \ge a' - a > 0\) 矛盾