Why系列：0.1 + 0.2 != 0.3

爲了知道更多一點，打算自己來一個why系列。

面試官：同學，請問 0.1 + 0.2 等於多少
同學：不等於0.3，因爲精度問題
面試官：能更深入的說一下嘛
同學：......

上面的同學，就是曾今的我！

所以，幹！

來解決 0.1 + 0.2 這個小學生都會的題目，大致分三個步驟

進制轉換

十進制轉二進制
二進制轉十進制

IEEE 754浮點數標準
浮點數計算
0.1 + 0.2

進制轉換

十進制轉二進制

整數：採用 除2取餘，逆序排列法。具體做法是：用2整除十進制整數，可以得到一個商和餘數；再用2去除商，又會得到一個商和餘數，如此進行，直到商爲小於1時爲止，然後把先得到的餘數作爲二進制數的低位有效位，後得到的餘數作爲二進制數的高位有效位，依次排列起來。
小數：採用乘2取整，順序排列法。具體做法是：用2乘十進制小數，可以得到積，將積的整數部分取出，再用2乘餘下的小數部分，又得到一個積，再將積的整數部分取出，如此進行，直到積中的小數部分爲零，此時0或1爲二進制的最後一位。或者達到所要求的精度爲止。

我們依舊使用 9.375 來分析，

先看整數部分：9, 按照規則，除2取餘，逆序排列，
結果爲： 1001

再看小數部分： 0.375 ,按照規則 採用乘2取整，順序排列
結果爲： 011

結合起來 9.375 = 整數₂ + 小數₂ = 1001 + .011 = 1001.011

驗證：

(9.375).toString(2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call(9.375, 2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call( Number(9.375), 2) // 1001.011

二進制轉十進制

小數點前或者整數要從右到左用二進制的每個數去乘以2的相應次方並遞增
小數點後則是從左往右乘以二的相應負次方並遞減。

例如：二進制數1001.011轉化成十進制

整數部分：1001 = 1 * 2⁰ + 0 * 2¹ + 0 * 2² + 1 * 2³ = 1 + 0 + 0 + 8 = 9
小數部分：011 = 0 * 2^-1 + 1 * 2^-2 + + 1 * 2^-3 = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.375

1001.011₂ = 整數部分 + 小數部分 = 9₁₀ + 0.375 ₁₀ = 9.375

當然我們怎麼驗證結果了，調用Number.prototype.toString

(9.375).toString(2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call(9.375, 2)  // 1001.011
Number.prototype.toString.call( Number(9.375), 2) // 1001.011

IEEE 754浮點數標準

以雙精度浮點格式爲例，如上圖，三個參數 S E M:

名稱                        長度        比特位置

符號位    Sign  （S）      : 1bit        （b63）
指數部分Exponent （E）     : 11bit      （b62-b52）
尾數部分Mantissa   （M）   : 52bit      （b51-b0）

雙精度的指數部分（E）採用的偏置碼爲1023

S=1表示負數 S=0表示正數

求值公式 (-1)^S*(1.M)*2^(E-1023)
這裏有一個額外的參數，偏移碼 1023，更多可以參考IEEE 754浮點數標準中64位浮點數爲什麼指數偏移量是1023
結合公司來看，各個參數是怎麼工作的：
二進制可能不好理解，我們先看一個10進制的數，比如 1001.125, 我們可以寫成

1001.125
100.1125*10¹
10.01125*10²
1.001125*10³

上面的(-1)^S*(1.M)*2^(E-1023) 同 1.001125*10³ 只不過使用的是二進制而已。
如果是小數了，同理 0.0000125 就是 1.25 * 10^-5

我們來看看一個二進制的例子，比如 103.0625

S 符號位
因爲正數，所以 S爲0
E 指數位
1. 轉爲二進制爲 1100111.0001
2. 規範化 1.1001110001 * 2⁶, 6 = E - 1023 , E = 1029
3. E = 1029 , 轉爲二進制 10000000101
M 尾數位
對於 1.1001110001 ， M的值爲 1001110001, 因爲長度有52位，後面補充0就行，結果爲
1001110001000000000000000000000000000000000000000000

拼接來 0-10000000101-1001110001000000000000000000000000000000000000000000

至於如何驗證對不對，可以去IEEE 754 64位轉換工具驗證一下。

大家知道，十進制有無限循壞小數，二進制也是存在的。遇到這種情況，10進制是四捨五入，那二進制呢。只有0和1，那麼是1就入吧。
當然 IEEE 754 是有好幾種舍入誤差的模式的，更多細節可以閱讀 IEEE 754浮點數標準詳解。

我們看看 1.1, 最後尾數部分 0001100110011001100110011001100110011001100110011001₅₂ (11001)_循環，53位是1，那就進位吧，
結果爲 0001100110011001100110011001100110011001100110011010

這裏知道十進制，怎麼轉換爲二進制的浮點數存儲了，下面就可以進行運算。

浮點數計算

浮點數的加減運算一般由以下五個步驟完成：對階、尾數運算、規格化、舍入處理、溢出判斷。更多細節，可以閱讀浮點數的運算步驟。

1.對階

這裏的階，就是指數位數，簡單說，就是指數位保持一致。即⊿E＝E x-E y，將小階碼加上⊿E，使之與大階碼相等。
拿是十進制舉例， 123.5 + 1426.00456

等價於 1.235*10² + 1.42600456 * 10³
和指數高的對齊，高的爲3 ，變成 0.1235*10³ + 1.42600456 * 10³

123.5 + 1426.00456 = 0.1235*10³ + 1.42600456 * 10³ = (0.125 + 1.42600456) * 10³ = 1.54950456 * 10³ = 1549.50456

舉例是十進制，計算機執行的是二進制而已。這個過程可能會有幾個問題。

小階對大階的時候，會右移動，因爲指數部分，最多保留52位，就可能丟。
相加或者相減，值可能溢出，就有了後面的溢出判斷。

2.尾數運算

尾數運算就是進行完成對階後的尾數相加減。

3.結果規格化

在機器中，爲保證浮點數表示的唯一性，浮點數在機器中都是以規格化形式存儲的。對於IEEE754標準的浮點數來說，就是尾數必須是1.M的形式。
再拿十進制舉例。

80.5 + 90 = 8.05*10¹ + 9.0*10¹ = 17.05¹
尾數必須是1.M的形式，規格化 => 1.705 ²

4.舍入處理

浮點運算在對階或右規時，尾數需要右移，被右移出去的位會被丟掉，從而造成運算結果精度的損失。爲了減少這種精度損失，可以將一定位數的移出位先保留起來，稱爲保護位，在規格化後用於舍入處理。
IEEE754標準列出了四種可選的舍入處理方法，默認使用四捨五入。

5.溢出判斷

與定點數運算不同的是，浮點數的溢出是以其運算結果的階碼的值是否產生溢出來判斷的。
若階碼的值超過了階碼所能表示的最大正數，則爲上溢，進一步，若此時浮點數爲正數，則爲正上溢，記爲+∞，若浮點數爲負數，則爲負上溢，記爲-∞；若階碼的值超過了階碼所能表示的最小負數，則爲下溢，進一步，若此時浮點數爲正數，則爲正下溢，若浮點數爲負數，則爲負下溢。正下溢和負下溢都作爲0處理

0.1 + 0.2 != 0.3

換算成 IEEE 754 標準的二進制數據結構

在如上基礎之類，我們再開始我們的議題0.1 + 0.2 != 0.3, 計算機首先會把十進制轉爲二進制，然後進行加法。
0.1 轉二進制爲, 終止條件是 直到積中的小數部分爲零，但是從下面的結果來看, 所以簡單表示爲

0.0 0011 0011 (0011)_無限循環，無限循環，這可不行，這次輪到 IEEE 754標準 出場了，IEEE 754標準定義了單精度和雙精度浮點格式

2 * 0.1   
2 * 0.2        0

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1

2 * 0.4        0
2 * 0.8        0
2 * 1.6        1
2 * 1.2        1
.....無限循環0011....

我們以0.1爲例，開始計算

符號位S
因爲是正數，那麼符號位爲 0 。
指數部分E
首先我們將0.1轉爲2進制數0.0 0011 0011 (0011)_無限循環，因爲是正數，那麼符號位爲 0。然後我們根據正規化的二進制浮點數表達，那麼它以1.bbbbb...這種形式表示, 爲：1.1001 1001 (1001)_無限循環 x 2^-4。
E-1023 = -4 那麼 E = 1019, 1019的二進制表示爲 1111111011, 因爲有11位，前面加0，爲01111111011
尾數部分M, 無限循環
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001_無限循環
當64bit的存儲空間無法存儲完整的無限循環小數，而IEEE 754 Floating-point採用round to nearest, tie to even的舍入模式。
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 ~~1001~~ 就進位爲
1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1001 1010

最終
0-01111111011-1001100110011001100110011001100110011001100110011010
你也可使用 IEEE 754 64位轉換工具來驗證自己的結果是否正確。

同理0.2的最終結果爲
0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

接下來，進行標準的浮點數運算

對階

小階對大階。
0.1 的指數 01111111011 = 1019
0.2 的指數 01111111100 = 1020
0.2 的指數大，0.1的調整指數位爲 01111111100，同時位數部分右移一位，如下：

0.1    0-01111111100-11001100110011001100110011001100110011001100110011010
0.2    0-01111111100-1001100110011001100110011001100110011001100110011010

尾數運算

可以看到有進位

    0.11001100110011001100110011001100110011001100110011010    ---0.1尾數  
    1.1001100110011001100110011001100110011001100110011010     ---0.2尾數      
-----------------------------------------------------------------------------
   10.01100110011001100110011001100110011001100110011001110     
    
         結果

結果規格化

需要右移一位， E+1 = 1020 + 1 = 1021 = 1111111101
1.M = 1.001100110011001100110011001100110011001100110011001110

舍入處理

尾數小數部分 0011001100110011001100110011001100110011001100110011 10 長度爲54，
四捨五入 0011001100110011001100110011001100110011001100110100

溢出檢查

指數沒有溢出

結果計算：：

E 爲 1021, S爲0
計算值： (-1)^S*(1.M)*2^(E-1023) => (1.0011001100110011001100110011001100110011001100110100)*2^(-2)
=> 0.010011001100110011001100110011001100110011001100110100

通過在線進制轉換, 結果爲 0.30000000000000004。

話外

既然有這個問題，那麼我們怎麼老保證結果的正確性呢。

比如錢，明確的知道最多兩位小數，那麼不妨先 *100
與一個非常小的值對比。比如 Number.EPSILON

浮點數的運算步驟
 IEEE 754-維基百科
 IEEE 754浮點數標準詳解
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