sb的斜率優化筆記

參考資料

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[HNOI2008]玩具裝箱

設 S[i] = Σ_1≤i≤n (C[i] + 1)， 設狀態 dp[i] 表示裝好前 i 個， 值爲最小花費， 則轉移爲：
dp[i] = min_0≤j<i {dp[j] + (S[i]-S[j]-1-L)²} 。

化簡 (S[i]-S[j]-1-L)² ：將常量 L 加一， 變成 (S[i]-S[j]-L)²， 而後變成 S[i]² + (S[j] + L)² - 2S[i]S[j] - 2S[i]L。

最後方程化簡爲 ：dp[i] = min_0≤j<i {dp[j] + S[i]² + (S[j] + L)² - 2S[i]S[j] - 2S[i]L} ， 是 dp[i] = min/max {a(i) + b(j) + c(i) × d(j)} 的形式。

看上去很 NB 的代數法

考慮 dp[i] 的兩個決策點 j₁ < j₂， 假設 j₂ 優於 j₁， 可得：

(-2S[i]S[j₂]) + (dp[j₂] + (S[j₂] + L)²) ≤ (-2S[i]S[j₁]) + (dp[j₁] + (S[j₁] + L)²)

繼續化簡：

-2S[i] (S[j₂] - S[j₁]) ≤ (dp[j₁] + (S[j₁] + L)²) - (dp[j₂] + (S[j₂] + L)²)

由於 S[j₂] > S[j₁]， 故可除：

2S[i] ≥ \(\dfrac{(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2) - (dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)}{S[j_2]-S[j_1]}\)

若有 j₂ > j₁， 就可以通過判斷這個東西是否成立來判斷 j₂ 這個決策點是不是優於 j₁ 這個決策點。

然後設 X(i) = S[i], Y(i) = dp[i] + (S[i] + L)²， 再設 P(i) = (X(i), Y(i)) （平面直角座標系上的一個點）， 問題就是在平面直角座標系上的一個斜率判定問題。

考慮一個只有三個點的上凸包， 可知不論怎樣，用上面那個結論可觀測到的有效決策集合是原決策集合的下凸包。具體推理見參考資料

線性規劃法

複習下形式：dp[i] = min/max {a(i) + b(j) + c(i) × d(j)}

這種線性規劃法就是把某個決策點 j 的轉移，即 dp[i] = a(i) + b(j) + c(i) × d(j)， 在某個來自西方的神祕二維結構（即平面直角座標系）上以某種方式展開， 然後轉化爲在這個二維結構上的最優化問題。

具體地， 先將除了 dp[i] 的東西以 ' 標示之， 記爲常量：

dp[i] = a(i)' + b(j) + c(i)' × d(j)

然後將式子化成：

b(j) = -c(i)' × d(j) - a(i)' + dp[i]

然後現在的問題就是將所有決策點看成 (d(j),b(j))， 然後把一個斜率爲 -c(i)' 的直線對齊每個點， 找出最小的截距。

發現上凸包是不存在的， 維護決策點的下凸包即可。

兩種方法的評價

線性規劃 >>> 代數法，降維打擊！