歐幾里得算法（代碼及證明過程）

歐幾里得算法（代碼及證明過程）

一、基礎知識

歐幾里得算法的原理是 GCD遞歸定理

GCD遞歸定理：

對任意 非負整數 a 和 任意 整數 b，gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

爲了證明這個定理，我們首先需要知道一下幾個有關 gcd 的基本知識跟相關等式跟推論

1.1 基本知識：

1. 公約數

   定義：如果 d|a（d 整除 a）且 d|b，那麼 d 是 a 與 b 的 公約數。

   性質：如果 d|a 且 d|b，那麼 d|(ax + by); x,y ∈ Z(任意整數)

2. 最大公約數

   定義：兩個非零整數 a 和 b 的公約數裏最大的就是 最大公約數。

1.2 相關等式跟推論：

1. 等式 1：如果 a|b 且 b|a 那麼 a = ±b
2. 等式 2：如果 d|a 且 d|b 那麼 d|(ax + by); x,y ∈ Z
3. 等式 3： a mod n = a - n⌊a/n⌋(向下整除); a∈Z,n∈N*(正整數)
4. 推論 1：對任意整數 a , b，如果 d|a 且 d|b 則 d|gcd(a, b)

二、證明過程

如果我們想要獲得結論gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

那麼我們只需要證明gcd(a,b)|gcd(b, a mod b) 且 gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)就可以利用等式 1來證明他倆相等了。

2.1 證明 gcd(a,b)|gcd(b,a mod b)

設 d = gcd(a, b)

∴ d|a 且 d|b

∵ 由 等式 3 可知：(a mod b) = a - qb q = ⌊a/b⌋

∴ a mod b 是 a 與 b 的線性組合

∴ 由 等式 2 可知 ：d|(a mod b)

∵ d|b 且 d|(a mod b)

∴ 由 推論 1 可知 d|gcd(b, a mod b)

等價結論： gcd(a, b)|gcd(b, a mod b)

2.2 證明 gcd(b,a mod b)|gcd(a,b)

設 c = gcd(b, a mod b)

∴ c|b 且 c|(a mod b)

∵ a = qb + r

​ r = a mod b

​ q = ⌊a/b⌋

∴ a 是 b 和 (a mod b) 的線性組合

∴ 由 等式 2 可知：c|a

∵ c|a 且 c|b

∴ 由 推論 1 可知：c|gcd(a, b)

等價結論： gcd(b, a mod b)|gcd(a, b)s

2.3 證明 gcd(a,b) = gcd(b, a mod b)

由 上述兩個結論 可知：

gcd(a, b)|gcd(b, a mod b)

gcd(b, a mod b)|gcd(a, b)

∴ 由 等式 1 可知：

​ gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)

到這裏 GCD遞歸定理 就證明結束了

三、代碼

在這裏我放上幾個常用的獲取 兩個數字GCD的代碼：

1. 遞歸：

   // 一般形式
   int gcd(int a, int b) {
       if(b == 0)
           return a;
       return gcd(b, a % b);
   }
   

   // 簡化形式
   int gcd(int a, int b) {
       return (b==0) ? a : gcd(b, a % b);
   }
   

2. 非遞歸：

   int gcd(int a, int b) {
       int tmp;
       while(b != 0) {
           tmp = b;
           b = a % b;
           a = tmp;
       }
       return a;
   }
   

3. 位運算：

   // 一般形式
   int gcd(int a, int b) {
       while(b) {
           a %= b;
           // 下面三行是交換 a 跟 b 的值
           b ^= a;
           a ^= b;
           b ^= a;
       }
       return a;
   }
   

   // 簡化版
   int gcd(int a,int b) {
       while(b^=a^=b^=a%=b);
       return a;
   }
   

四、參考資料

《算法導論 （第三版）》 -- 第31章 數論算法

GCD算法_Niteip's blog-CSDN博客_gcd 算法