1.前言
本文使用Matalab軟件，將應用偏微分方程數值解中橢圓形方程的五點差分格式求解一道Poisson方程的第一邊值例題，通過五點差分格式及邊值條件得到相應的差分方程組 K U = F KU=F KU=F後，採用Gauss-seidel迭代法對其求解即可得到數值解，並將數值解與真解作比較.
其中五點差分格式將直接給出，其構造過程從略.
2.例題
構造Poisson方程第一邊值如下：
採用五點差分格式求解並與解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2進行比較.
( x 和 y x和y x和y方向均 n n n等分，取 h 1 = h 2 = h = 1 / n h_1=h_2=h=1/n h1=h2=h=1/n， x 和 y x和y x和y方向上的節點序號分別用 i , j i,j i,j表示)
3.符號說明
表1：
| 符號 | 說明 |
|---|---|
| n n n | 區間等分數 |
| h h h | 區間剖分步長 |
| K K K | 方程組係數矩陣 |
| U U U | 方程組未知向量 |
| F F F | 方程組右端項 |
| u u u | 方程組數值解向量 |
| U 1 U_1 U1 | 將 u u u的元素放到矩陣 U 1 U_1 U1中 |
| U 2 U_2 U2 | 解析解矩陣 |
| N N N | 迭代次數上限 |
| e p ep ep | 迭代誤差限 |
| k k k | 迭代次數 |
| Q Q Q | 區域邊界節點值的算術平均值 |
4.思路
主要思路是將二維問題當成一維問題求解，即二維的 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2個節點按順序分行放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2維向量 U U U中.
主要步驟如下：
1.確定步長後對區域進行網格均勻剖分（ x , y x,y x,y方向的步長 h h h相等）；
2.所求方程組爲 K U = F KU=F KU=F，根據五點差分格式分別給 K K K和 F F F賦值（矩陣中包含邊界點）；
(說明： U U U是一個 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2維向量，即將求解區域中所有節點放到一個向量 U U U中，當作一維問題進行求解；其次，將邊界點放入方程組中可以使 K K K具有更好的性質，更好地防止求解中不收斂的情況，處理邊界點時將其當成未知的即可)
3.由邊界點值的算術平均值作爲 U U U的初始值,以減少迭代次數；
4.給定迭代次數上限 N N N和誤差限，由 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程組 K U = F KU=F KU=F得到數值解向量 u u u；
5.爲方便觀察，將解向量 u u u的元素放入 ( n + 1 ) ∗ ( n + 1 ) (n+1)*(n+1) (n+1)∗(n+1)階矩陣 U 1 U_1 U1中，並與由解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2產生的解矩陣 U 2 U_2 U2比較；
5.求解步驟
劃分網格數 n n n選取爲7.
1.右端項爲 f i j = − 2 [ ( i h ) 2 + ( j h ) 2 ] f_{ij}=-2[(ih)^2+(jh)^2] fij=−2[(ih)2+(jh)2]，則得到方程的五點差分格式爲
相應的 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代公式爲
2.構造求解矩陣時，對特殊類型的節點應根據邊界條件將格式適當化簡：
（1）左邊界點 u 0 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u 0 j = 0 u_{0j}(j=0,1,...,n):4u_{0j}=0 u0j(j=0,1,...,n):4u0j=0
（2）下邊界點 u i 0 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i 0 = 0 u_{i0}(i=0,1,...,n):4u_{i0}=0 ui0(i=0,1,...,n):4ui0=0
（3）右邊界點 u n j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u n j = 4 ( j h ) 2 u_{nj}(j=0,1,...,n):4u_{nj}=4(jh)^2 unj(j=0,1,...,n):4unj=4(jh)2
（4）上邊界點 u i n ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i n = 4 ( i h ) 2 u_{in}(i=0,1,...,n):4u_{in}=4(ih)^2 uin(i=0,1,...,n):4uin=4(ih)2
（5）左邊界點的相鄰內點 u 1 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{1j}(j=0,1,...,n): u1j(j=0,1,...,n):
− ( u 2 j − 2 u 1 j ) − ( u 1 , j + 1 − 2 u 1 j + u 1 , j − 1 ) = h 2 f 1 j -(u_{2j}-2u_{1j})-(u_{1,j+1}-2u_{1j}+u_{1,j-1})=h^2f_{1j} −(u2j−2u1j)−(u1,j+1−2u1j+u1,j−1)=h2f1j
（6）下邊界點的相鄰內點 u i 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i1}(i=0,1,...,n): ui1(i=0,1,...,n):
− ( u i + 1 , 1 − 2 u i 1 + u i − 1 , 1 ) − ( u i 2 − 2 u i 1 ) = h 2 f i 1 -(u_{i+1,1}-2u_{i1}+u_{i-1,1})-(u_{i2}-2u_{i1})=h^2f_{i1} −(ui+1,1−2ui1+ui−1,1)−(ui2−2ui1)=h2fi1
（7）右邊界點的相鄰內點 u n − 1 , j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{n-1,j}(j=0,1,...,n): un−1,j(j=0,1,...,n):
− ( − 2 u n − 1 , j + u n − 2 , j ) − ( u n − 1 , j + 1 − 2 u n − 1 , j + u n − 1 , j − 1 ) = h 2 f n − 1 , j + ( j h ) 2 -(-2u_{n-1,j}+u_{n-2,j})-(u_{n-1,j+1}-2u_{n-1,j}+u_{n-1,j-1})=h^2f_{n-1,j}+(jh)^2 −(−2un−1,j+un−2,j)−(un−1,j+1−2un−1,j+un−1,j−1)=h2fn−1,j+(jh)2
（8）上邊界點的相鄰內點 u i , n − 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i,n-1}(i=0,1,...,n): ui,n−1(i=0,1,...,n):
− ( u i + 1 , n − 1 − 2 u i , n − 1 + u i − 1 , n − 1 ) − ( − 2 u i , n − 1 + u i , n − 2 ) = h 2 f i , n − 1 + ( i h ) 2 -(u_{i+1,n-1}-2u_{i,n-1}+u_{i-1,n-1})-(-2u_{i,n-1}+u_{i,n-2})=h^2f_{i,n-1}+(ih)^2 −(ui+1,n−1−2ui,n−1+ui−1,n−1)−(−2ui,n−1+ui,n−2)=h2fi,n−1+(ih)2
對於同時滿足上述多個情況的節點，只需根據實際對上述相應格式進行一定的疊加即可.
3.根據五點差分格式和邊界條件（步驟2）對 K , U 和 F K,U和F K,U和F賦值（其中選取邊界值的算術平均值 Q = 0.3242 Q=0.3242 Q=0.3242爲初始近似值賦於未知向量 U U U.）
4.取最大迭代次數N=500,迭代誤差限 e p ep ep分別取 1 e − 2 1e-2 1e−2和 1 e − 4 1e-4 1e−4，採用 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程組 K U = F KU=F KU=F,將求解結果放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2維向量 u u u中.
5.將 u u u中的元素按一定次序存儲到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)階矩陣 U 1 U_1 U1中，同時通過理論解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2產生相應節點的函數值並存儲到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)階矩陣 U 2 U_2 U2中,將 U 1 , U 2 U_1,U_2 U1,U2的元素進行比較和分析.
6.求解結果
表2：理論解得到的節點函數值（ U 2 中 元 素 U_2中元素 U2中元素）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0004 | 0.0017 | 0.0037 | 0.0067 | 0.0104 | 0.0150 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0017 | 0.0067 | 0.0150 | 0.0267 | 0.0416 | 0.0600 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0037 | 0.0150 | 0.0337 | 0.0600 | 0.0937 | 0.1349 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0067 | 0.0267 | 0.0600 | 0.1066 | 0.1666 | 0.2399 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0104 | 0.0416 | 0.0937 | 0.1666 | 0.2603 | 0.3748 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0150 | 0.0600 | 0.1349 | 0.2399 | 0.3748 | 0.5398 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
表3： e p = 1 e − 2 ep=1e-2 ep=1e−2時得到的節點函數值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1中元素，此時迭代次數 k = 8 k=8 k=8）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0125 | 0.0203 | 0.0235 | 0.0233 | 0.0219 | 0.0205 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0203 | 0.0354 | 0.0454 | 0.0525 | 0.0596 | 0.0687 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0235 | 0.0454 | 0.0660 | 0.0877 | 0.1131 | 0.1445 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0233 | 0.0525 | 0.0877 | 0.1306 | 0.1835 | 0.2483 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0219 | 0.0596 | 0.1131 | 0.1835 | 0.2723 | 0.3808 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0205 | 0.0687 | 0.1445 | 0.2483 | 0.3808 | 0.5428 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
表4： e p = 1 e − 4 ep=1e-4 ep=1e−4時得到的節點函數值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1中元素，此時迭代次數 k = 29 k=29 k=29）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0005 | 0.0019 | 0.0040 | 0.0069 | 0.0105 | 0.0151 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0019 | 0.0070 | 0.0153 | 0.0270 | 0.0419 | 0.0601 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0040 | 0.0153 | 0.0341 | 0.0603 | 0.0940 | 0.1351 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0069 | 0.0270 | 0.0603 | 0.1069 | 0.1668 | 0.2400 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0105 | 0.0419 | 0.0940 | 0.1668 | 0.2605 | 0.3749 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0151 | 0.0601 | 0.1351 | 0.2400 | 0.3749 | 0.5398 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
通過mesh函數分別將表2-表4的元素可視化，依次得到圖1，圖2，圖3如下.
圖1：
圖2：
圖3：
7.總結
通過結果可看出，當迭代誤差限不斷減小到時，迭代次數從8次上升到29次，方程組數值解也更接近於理論解.本次實驗選取大小適中，能夠更普遍地反映求解區域中各節點的數值解取值，同時也方便直觀地進行比較.可以推斷當誤差限趨於0時，迭代次數將趨於無窮，此時五點差分格式計算得到的數值解將無限趨近於理論解.但由於選取的誤差限較小，節點個數選取仍然較小，我們不易直觀地從圖1至圖3中直觀地觀察到兩次數值結果同理論解之間的差異.
8.Matlab代碼
1.主函數
%% 所求方程爲KU=F...
...將二維問題當成一維問題求解，即二維的（n+1）^2個節點按順序分行放到（n+1）^2維向量U中
clc
n=7; %網格數
h=1/n; %步長
F=zeros((n+1)^2,1); %KU=F
K=zeros(size(F)); %K爲（n+1）^2階方陣
U=ones((n+1)^2,1); %K爲（n+1）^2維向量
U0=zeros((n+1)^2,1);%U0用作存邊值條件，爲初始向量做準備
for i=1:n+1 %對U0中邊界點的位置賦值
U0(i)=0; %下邊界點
U0(n^2+n+i)=(i*h)^2;%右邊界點
U0(1+(i-1)*(n+1))=0;%左邊界點
U0(i*(n+1))=(i*h)^2;%上邊界點
end
%% 下面對K賦值
for i=1:(n+1)^2
K(i,i)=4;
end
for i=1:n-1 %五點中的右點
for j=2+i*(n+1):(n-1)+i*(n+1)
K(j,j+1)=-1;
end
end
for i=1:n-1 %五點中的左點
for j=3+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j-1)=-1;
end
end
for i=1:n-2 %五點中的上點
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j+n+1)=-1;
end
end
for i=2:n-1 %五點中的下點
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j-n-1)=-1;
end
end
%% 下面對F賦值
%下面賦值非特殊的點
for i=1:n-1
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
F(j)=-2*((floor(j/(n+1)))^2+(mod(j,n+1)-1)^2)*h^4;
end
end
%下面賦值與邊界點相鄰的內點(左邊和下邊爲齊次，不用管)
for i=1:n-1 %右邊的點
F(n+i*(n+1))=F(n+i*(n+1))+(i*h)^2;
end
for i=1:n-1%上邊的點
F((n+1)*(n-1)+i+1)=F((n+1)*(n-1)+i+1)+(i*h)^2;
end
%下面賦值F中邊界點
for i=i:n+1
F(i)=0;%下邊界點
end
for i=1:n-1
F(1+i*(n+1))=0;%左邊界點
F((i+1)*(n+1))=4*(i*h)^2;%右邊界點
end
for i=(n+1)*n+1:(n+1)^2 %上邊界點
if i==(n+1)^2
F(i)=4*(n^2)*(h^2);
else
F(i)=4*((mod(i,n+1)-1)^2)*(h^2);
end
end
%% 下面對U賦初值
d=sum(sum(U0))/4/n; %使用邊界點值的算術平均值作爲U的初值以加快迭代次數
for i=1:(n+1)^2
U(i)=d;
end
%% 使用高斯賽德迭代求解KU=F
ep=1e-4; %誤差限，可根據需要更改，本次我們使用1e-2和1e-4
N=500; %最大迭代次數
u=Gauss(K,F,U,ep,N); %將求解結果存到向量u中
%% 下面將解u放到矩陣U1中，並與真解U2作比較
U1=zeros(n+1);%U1用於存放向量u中元素二維化後的數據
U2=zeros(n+1);%U2用於存放真解
for i=1:n+1%u的一維數據放到二維矩陣U1中
for j=1+(i-1)*(n+1):i*(n+1)
U1(i,j-(i-1)*(n+1))=u(j);
end
end
for i=1:n+1%真解產生的節點函數值放到U2中
for j=1:n+1
U2(i,j)=(((i-1)*h)^2)*(((j-1)*h)^2);
end
end
%% 輸出解
U1
U2
%% 畫圖
X=linspace(0,1,n+1);
Y=linspace(0,1,n+1);
mesh(X,Y,U2);%當要畫數值解的圖時，U2改爲U1即可
hold on;
title('理論解圖像');%當要畫數值解的圖時，'理論解圖像'改爲'數值解圖像'即可
2.Gauss-seidel迭代
function x=Gauss(A,b,x0,ep,N)
%用於Gauss-seidel迭代法解線性方程組Ax=b
%A，b,x0分別爲係數矩陣，右端向量和初始向量（初始向量默認爲零向量）
%ep爲精度（1e-3），N爲最大迭代次數（默認500次），x返回數值解向量
n=length(b);
if nargin<5
N=5000;
end
if nargin<4
ep=1e-6;
end
if nargin<3
x0=zeros(n,1);
end
x=zeros(n,1);
k=0;
while k<N
for i=1:n
if i==1
x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1);
elseif i==n
x(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1))/A(n,n);
else
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
end
if norm(x-x0,inf)<ep
break;
end
x0=x;
k=k+1;
end
if k==N
Warning('已到達迭代次數上限');
end
disp(['k=',num2str(k)])
end