1.前言
本文使用Matalab软件，将应用偏微分方程数值解中椭圆形方程的五点差分格式求解一道Poisson方程的第一边值例题，通过五点差分格式及边值条件得到相应的差分方程组 K U = F KU=F KU=F后，采用Gauss-seidel迭代法对其求解即可得到数值解，并将数值解与真解作比较.
其中五点差分格式将直接给出，其构造过程从略.
2.例题
构造Poisson方程第一边值如下：
采用五点差分格式求解并与解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2进行比较.
( x 和 y x和y x和y方向均 n n n等分，取 h 1 = h 2 = h = 1 / n h_1=h_2=h=1/n h1=h2=h=1/n， x 和 y x和y x和y方向上的节点序号分别用 i , j i,j i,j表示)
3.符号说明
表1：
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| n n n | 区间等分数 |
| h h h | 区间剖分步长 |
| K K K | 方程组系数矩阵 |
| U U U | 方程组未知向量 |
| F F F | 方程组右端项 |
| u u u | 方程组数值解向量 |
| U 1 U_1 U1 | 将 u u u的元素放到矩阵 U 1 U_1 U1中 |
| U 2 U_2 U2 | 解析解矩阵 |
| N N N | 迭代次数上限 |
| e p ep ep | 迭代误差限 |
| k k k | 迭代次数 |
| Q Q Q | 区域边界节点值的算术平均值 |
4.思路
主要思路是将二维问题当成一维问题求解，即二维的 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2个节点按顺序分行放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量 U U U中.
主要步骤如下：
1.确定步长后对区域进行网格均匀剖分（ x , y x,y x,y方向的步长 h h h相等）；
2.所求方程组为 K U = F KU=F KU=F，根据五点差分格式分别给 K K K和 F F F赋值（矩阵中包含边界点）；
(说明： U U U是一个 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量，即将求解区域中所有节点放到一个向量 U U U中，当作一维问题进行求解；其次，将边界点放入方程组中可以使 K K K具有更好的性质，更好地防止求解中不收敛的情况，处理边界点时将其当成未知的即可)
3.由边界点值的算术平均值作为 U U U的初始值,以减少迭代次数；
4.给定迭代次数上限 N N N和误差限，由 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程组 K U = F KU=F KU=F得到数值解向量 u u u；
5.为方便观察，将解向量 u u u的元素放入 ( n + 1 ) ∗ ( n + 1 ) (n+1)*(n+1) (n+1)∗(n+1)阶矩阵 U 1 U_1 U1中，并与由解析解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2产生的解矩阵 U 2 U_2 U2比较；
5.求解步骤
划分网格数 n n n选取为7.
1.右端项为 f i j = − 2 [ ( i h ) 2 + ( j h ) 2 ] f_{ij}=-2[(ih)^2+(jh)^2] fij=−2[(ih)2+(jh)2]，则得到方程的五点差分格式为
相应的 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代公式为
2.构造求解矩阵时，对特殊类型的节点应根据边界条件将格式适当化简：
（1）左边界点 u 0 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u 0 j = 0 u_{0j}(j=0,1,...,n):4u_{0j}=0 u0j(j=0,1,...,n):4u0j=0
（2）下边界点 u i 0 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i 0 = 0 u_{i0}(i=0,1,...,n):4u_{i0}=0 ui0(i=0,1,...,n):4ui0=0
（3）右边界点 u n j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u n j = 4 ( j h ) 2 u_{nj}(j=0,1,...,n):4u_{nj}=4(jh)^2 unj(j=0,1,...,n):4unj=4(jh)2
（4）上边界点 u i n ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : 4 u i n = 4 ( i h ) 2 u_{in}(i=0,1,...,n):4u_{in}=4(ih)^2 uin(i=0,1,...,n):4uin=4(ih)2
（5）左边界点的相邻内点 u 1 j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{1j}(j=0,1,...,n): u1j(j=0,1,...,n):
− ( u 2 j − 2 u 1 j ) − ( u 1 , j + 1 − 2 u 1 j + u 1 , j − 1 ) = h 2 f 1 j -(u_{2j}-2u_{1j})-(u_{1,j+1}-2u_{1j}+u_{1,j-1})=h^2f_{1j} −(u2j−2u1j)−(u1,j+1−2u1j+u1,j−1)=h2f1j
（6）下边界点的相邻内点 u i 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i1}(i=0,1,...,n): ui1(i=0,1,...,n):
− ( u i + 1 , 1 − 2 u i 1 + u i − 1 , 1 ) − ( u i 2 − 2 u i 1 ) = h 2 f i 1 -(u_{i+1,1}-2u_{i1}+u_{i-1,1})-(u_{i2}-2u_{i1})=h^2f_{i1} −(ui+1,1−2ui1+ui−1,1)−(ui2−2ui1)=h2fi1
（7）右边界点的相邻内点 u n − 1 , j ( j = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{n-1,j}(j=0,1,...,n): un−1,j(j=0,1,...,n):
− ( − 2 u n − 1 , j + u n − 2 , j ) − ( u n − 1 , j + 1 − 2 u n − 1 , j + u n − 1 , j − 1 ) = h 2 f n − 1 , j + ( j h ) 2 -(-2u_{n-1,j}+u_{n-2,j})-(u_{n-1,j+1}-2u_{n-1,j}+u_{n-1,j-1})=h^2f_{n-1,j}+(jh)^2 −(−2un−1,j+un−2,j)−(un−1,j+1−2un−1,j+un−1,j−1)=h2fn−1,j+(jh)2
（8）上边界点的相邻内点 u i , n − 1 ( i = 0 , 1 , . . . , n ) : u_{i,n-1}(i=0,1,...,n): ui,n−1(i=0,1,...,n):
− ( u i + 1 , n − 1 − 2 u i , n − 1 + u i − 1 , n − 1 ) − ( − 2 u i , n − 1 + u i , n − 2 ) = h 2 f i , n − 1 + ( i h ) 2 -(u_{i+1,n-1}-2u_{i,n-1}+u_{i-1,n-1})-(-2u_{i,n-1}+u_{i,n-2})=h^2f_{i,n-1}+(ih)^2 −(ui+1,n−1−2ui,n−1+ui−1,n−1)−(−2ui,n−1+ui,n−2)=h2fi,n−1+(ih)2
对于同时满足上述多个情况的节点，只需根据实际对上述相应格式进行一定的叠加即可.
3.根据五点差分格式和边界条件（步骤2）对 K , U 和 F K,U和F K,U和F赋值（其中选取边界值的算术平均值 Q = 0.3242 Q=0.3242 Q=0.3242为初始近似值赋于未知向量 U U U.）
4.取最大迭代次数N=500,迭代误差限 e p ep ep分别取 1 e − 2 1e-2 1e−2和 1 e − 4 1e-4 1e−4，采用 G a u s s − s e i d e l Gauss-seidel Gauss−seidel迭代求解方程组 K U = F KU=F KU=F,将求解结果放到 ( n + 1 ) 2 (n+1)^2 (n+1)2维向量 u u u中.
5.将 u u u中的元素按一定次序存储到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶矩阵 U 1 U_1 U1中，同时通过理论解 u ( x , y ) = x 2 y 2 u(x,y)=x^2y^2 u(x,y)=x2y2产生相应节点的函数值并存储到 ( n + 1 ) (n+1) (n+1)阶矩阵 U 2 U_2 U2中,将 U 1 , U 2 U_1,U_2 U1,U2的元素进行比较和分析.
6.求解结果
表2：理论解得到的节点函数值（ U 2 中 元 素 U_2中元素 U2中元素）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0004 | 0.0017 | 0.0037 | 0.0067 | 0.0104 | 0.0150 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0017 | 0.0067 | 0.0150 | 0.0267 | 0.0416 | 0.0600 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0037 | 0.0150 | 0.0337 | 0.0600 | 0.0937 | 0.1349 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0067 | 0.0267 | 0.0600 | 0.1066 | 0.1666 | 0.2399 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0104 | 0.0416 | 0.0937 | 0.1666 | 0.2603 | 0.3748 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0150 | 0.0600 | 0.1349 | 0.2399 | 0.3748 | 0.5398 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
表3： e p = 1 e − 2 ep=1e-2 ep=1e−2时得到的节点函数值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1中元素，此时迭代次数 k = 8 k=8 k=8）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0125 | 0.0203 | 0.0235 | 0.0233 | 0.0219 | 0.0205 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0203 | 0.0354 | 0.0454 | 0.0525 | 0.0596 | 0.0687 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0235 | 0.0454 | 0.0660 | 0.0877 | 0.1131 | 0.1445 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0233 | 0.0525 | 0.0877 | 0.1306 | 0.1835 | 0.2483 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0219 | 0.0596 | 0.1131 | 0.1835 | 0.2723 | 0.3808 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0205 | 0.0687 | 0.1445 | 0.2483 | 0.3808 | 0.5428 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
表4： e p = 1 e − 4 ep=1e-4 ep=1e−4时得到的节点函数值（ U 1 中 元 素 U_1中元素 U1中元素，此时迭代次数 k = 29 k=29 k=29）
| u i j u_{ij} uij | i = i= i= 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| j = 0 j=0 j=0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0.0005 | 0.0019 | 0.0040 | 0.0069 | 0.0105 | 0.0151 | 0.0204 |
| 2 | 0 | 0.0019 | 0.0070 | 0.0153 | 0.0270 | 0.0419 | 0.0601 | 0.0816 |
| 3 | 0 | 0.0040 | 0.0153 | 0.0341 | 0.0603 | 0.0940 | 0.1351 | 0.1837 |
| 4 | 0 | 0.0069 | 0.0270 | 0.0603 | 0.1069 | 0.1668 | 0.2400 | 0.3265 |
| 5 | 0 | 0.0105 | 0.0419 | 0.0940 | 0.1668 | 0.2605 | 0.3749 | 0.5102 |
| 6 | 0 | 0.0151 | 0.0601 | 0.1351 | 0.2400 | 0.3749 | 0.5398 | 0.7347 |
| 7 | 0 | 0.0204 | 0.0816 | 0.1837 | 0.3265 | 0.5102 | 0.7347 | 1.0000 |
通过mesh函数分别将表2-表4的元素可视化，依次得到图1，图2，图3如下.
图1：
图2：
图3：
7.总结
通过结果可看出，当迭代误差限不断减小到时，迭代次数从8次上升到29次，方程组数值解也更接近于理论解.本次实验选取大小适中，能够更普遍地反映求解区域中各节点的数值解取值，同时也方便直观地进行比较.可以推断当误差限趋于0时，迭代次数将趋于无穷，此时五点差分格式计算得到的数值解将无限趋近于理论解.但由于选取的误差限较小，节点个数选取仍然较小，我们不易直观地从图1至图3中直观地观察到两次数值结果同理论解之间的差异.
8.Matlab代码
1.主函数
%% 所求方程为KU=F...
...将二维问题当成一维问题求解，即二维的（n+1）^2个节点按顺序分行放到（n+1）^2维向量U中
clc
n=7; %网格数
h=1/n; %步长
F=zeros((n+1)^2,1); %KU=F
K=zeros(size(F)); %K为（n+1）^2阶方阵
U=ones((n+1)^2,1); %K为（n+1）^2维向量
U0=zeros((n+1)^2,1);%U0用作存边值条件，为初始向量做准备
for i=1:n+1 %对U0中边界点的位置赋值
U0(i)=0; %下边界点
U0(n^2+n+i)=(i*h)^2;%右边界点
U0(1+(i-1)*(n+1))=0;%左边界点
U0(i*(n+1))=(i*h)^2;%上边界点
end
%% 下面对K赋值
for i=1:(n+1)^2
K(i,i)=4;
end
for i=1:n-1 %五点中的右点
for j=2+i*(n+1):(n-1)+i*(n+1)
K(j,j+1)=-1;
end
end
for i=1:n-1 %五点中的左点
for j=3+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j-1)=-1;
end
end
for i=1:n-2 %五点中的上点
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j+n+1)=-1;
end
end
for i=2:n-1 %五点中的下点
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
K(j,j-n-1)=-1;
end
end
%% 下面对F赋值
%下面赋值非特殊的点
for i=1:n-1
for j=2+i*(n+1):n+i*(n+1)
F(j)=-2*((floor(j/(n+1)))^2+(mod(j,n+1)-1)^2)*h^4;
end
end
%下面赋值与边界点相邻的内点(左边和下边为齐次，不用管)
for i=1:n-1 %右边的点
F(n+i*(n+1))=F(n+i*(n+1))+(i*h)^2;
end
for i=1:n-1%上边的点
F((n+1)*(n-1)+i+1)=F((n+1)*(n-1)+i+1)+(i*h)^2;
end
%下面赋值F中边界点
for i=i:n+1
F(i)=0;%下边界点
end
for i=1:n-1
F(1+i*(n+1))=0;%左边界点
F((i+1)*(n+1))=4*(i*h)^2;%右边界点
end
for i=(n+1)*n+1:(n+1)^2 %上边界点
if i==(n+1)^2
F(i)=4*(n^2)*(h^2);
else
F(i)=4*((mod(i,n+1)-1)^2)*(h^2);
end
end
%% 下面对U赋初值
d=sum(sum(U0))/4/n; %使用边界点值的算术平均值作为U的初值以加快迭代次数
for i=1:(n+1)^2
U(i)=d;
end
%% 使用高斯赛德迭代求解KU=F
ep=1e-4; %误差限，可根据需要更改，本次我们使用1e-2和1e-4
N=500; %最大迭代次数
u=Gauss(K,F,U,ep,N); %将求解结果存到向量u中
%% 下面将解u放到矩阵U1中，并与真解U2作比较
U1=zeros(n+1);%U1用于存放向量u中元素二维化后的数据
U2=zeros(n+1);%U2用于存放真解
for i=1:n+1%u的一维数据放到二维矩阵U1中
for j=1+(i-1)*(n+1):i*(n+1)
U1(i,j-(i-1)*(n+1))=u(j);
end
end
for i=1:n+1%真解产生的节点函数值放到U2中
for j=1:n+1
U2(i,j)=(((i-1)*h)^2)*(((j-1)*h)^2);
end
end
%% 输出解
U1
U2
%% 画图
X=linspace(0,1,n+1);
Y=linspace(0,1,n+1);
mesh(X,Y,U2);%当要画数值解的图时，U2改为U1即可
hold on;
title('理论解图像');%当要画数值解的图时，'理论解图像'改为'数值解图像'即可
2.Gauss-seidel迭代
function x=Gauss(A,b,x0,ep,N)
%用于Gauss-seidel迭代法解线性方程组Ax=b
%A，b,x0分别为系数矩阵，右端向量和初始向量（初始向量默认为零向量）
%ep为精度（1e-3），N为最大迭代次数（默认500次），x返回数值解向量
n=length(b);
if nargin<5
N=5000;
end
if nargin<4
ep=1e-6;
end
if nargin<3
x0=zeros(n,1);
end
x=zeros(n,1);
k=0;
while k<N
for i=1:n
if i==1
x(1)=(b(1)-A(1,2:n)*x0(2:n))/A(1,1);
elseif i==n
x(n)=(b(n)-A(n,1:n-1)*x(1:n-1))/A(n,n);
else
x(i)=(b(i)-A(i,1:i-1)*x(1:i-1)-A(i,i+1:n)*x0(i+1:n))/A(i,i);
end
end
if norm(x-x0,inf)<ep
break;
end
x0=x;
k=k+1;
end
if k==N
Warning('已到达迭代次数上限');
end
disp(['k=',num2str(k)])
end